06秋几代期末答案

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1、代数与几何（1）试题答案和评分标准考试时间：2007年1月11日，信息学院和航空航天学院2006级学生一．选择题（A）卷：（1）A（2）D(3)B(4)D(B)卷：（1）D(2)B(3)D(4)A二．填空题（A）卷：（1）0（2）30(3)-7/2(4)(B)卷：（1）30(2)0(3)(4)-7/2A卷B卷第三题．（总分8分）法一：，其中，，（分块2分），（4分）（6分）12故（8分）法二：直接计算。（算对得８分；方法对但算错，算错一个元扣一分）A卷第四大题，B卷第五大题（15分）第1问参考解答：下面给出尽可

2、能多的解法．法I　求投影直线的标准方程．先求直线与平面的交点坐标．的参数方程为，其中为参数，代入的方程得，解得，故交点坐标为．再求投影直线的方向向量，这又至少有以下两种方法：法I.a　的法向量为，单位化得，又的方向向量为，则在上的投影直线的方向向量为即方向向量为．也可直接利用公式计算，结果相同．12法I.b　由几何关系不难看出．最后由投影直线的方向向量及其过点得到其标准方程为，或写为．法II　求投影直线的一般方程．所求的投影直线在上，只需再求过该投影的另一个平面，可以是由及其投影确定的平面，即过且垂直于的平面．

3、下面用两种方法求该平面的方程．法II.a　过且垂直于的平面的法向量为，又上的点在该平面上，故该平面的方程为，即．法II.b　由的标准方程易得其一般方程为，则过的平面族（平面系）方程为（注意：不包括平面本身），其法向量为，于是过且垂直于的平面对应的满足，即，所以过且垂直于的平面方程为．故所求的投影直线为．法III　求上两点到的投影，这两个投影点确定的直线即为所求．比如，先按法I求出与的交点，再用类似的办法求12上另一点到的投影．垂直于的直线的方向向量就是的法向量，则过点且垂直于的直线为，代入的方程得，解得，故点在

4、上的投影点为．进而在上的投影直线为，即．评分标准：(1)对法I，算对与的交点坐标（或投影直线上的任意一点均可）及投影直线的方向向量各占3分，共6分；但若二者都算对却仍把投影直线方程写错，扣2分．(2)对法II，若算对过且垂直于的平面方程却写错投影直线方程，扣2分；若算错过且垂直于的平面方程，酌情扣分，例如在法II.a中，若只算对该平面的法向量，最多得3分．(3)对法III，参照法I，算对每个投影点坐标（可以是与的交点）各占3分；但若两个投影点都算对却写错投影直线方程，扣2分．阅卷小结：采用法I或法II的考生大约

5、各占一半，只有极个别的采用法III．采用法I的答卷中，求方向向量时，用法I.a或法I.b的都有不少，前者居多；采用法II的答卷中，全部用法II.a来求另一个平面．第2问12参考解答：下面给出两种常见解法．法I　考虑与的方程构成的方程组(*)其增广矩阵，对其进行初等行变换，得．分四种情况讨论：①若，则的一般方程中两平面相同，不是一条直线，不属于讨论之列（此时可认为退化为一平面）；②若，则，故(*)有无穷多解，此时在上（）；③若，则，故(*)无解，此时与平行（）；④若，则，故(*)有唯一解，此时与相交于一点．法II

6、　考虑的法向量与的方向向量的关系．易知．12(1)若与垂直，即与平行，则与平行或在内．此时，得或．其中①若，则，该方程不表示直线，不在讨论范围内；②若，则，其中第二个平面就是，；③若，则，其中第一个平面与平行（不重合），．(2)（对应于法I中的④）若与不垂直，即与不平行，则与相交．此时，得且．综上，结论与法I一致：为使的方程确为直线，和不能同时为；若，在上；若，与平行；若，与相交于一点．评分标准：(1)不论哪种方法，正确讨论出②③④这三种情况各占3分，共9分；若对其中某种情况的分析未能得出正确结论，要扣掉相应的

7、3分．情况①不占分．(2)对情况①12不作要求，考生可以不予考虑，不扣分；若对该情况加以讨论且结论正确，不能额外加分；但若对其进行讨论而分析有误，扣1分．例如，凡出现下述表述之一的，扣1分：“时，在上”，“时，与平行”，“时，在上”，“时，与平行”，等等．(3)情况②中，若将误作，或表述为“与重合”，均不扣分．类似的其他较次要的细节性笔误也不扣分（前提是基本概念正确，思路清楚，阅卷时视具体情况而定）．(4)部分考生对情况②③未加区分，此时要详细审阅其解答过程．若写在卷面上的内容都对，从中可看出考生只是将作为的一

8、种特殊情况，或认为包括在内和在外两种情况，这是可以的，不扣分；但若解答有明显错误，反映出考生概念不清导致未能意识到可能有这两种不同情况，通常至少扣3分．例如，笼统地说“和中有且只有一个为时，，与平行”尚勉强可以接受，最多扣1~2分；若写出“和中有且只有一个为时，”或“和中有且只有一个为时，”等错误命题，视情节扣4~6分．(5)部分考生还附带讨论了与垂直的情形，作为情况④的特例，或者将情