矩阵svd分解法在工程数值计算中的应用

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1、第19卷第2期宁夏大学学报(自然科学版)1998年6月Vol.19No.2JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)Jun.19983矩阵SVD分解法在工程数值计算中的应用马良荣张德澄王燕昌宁夏大学物理与电子信息工程系,750021,银川摘要论述了SVD分解法的理论基础、数值计算方法,推导了任意矩阵的SVD分解式,并对工程数值计算中的奇异、病态、超定方程进行了SVD求解1计算结果表明该算法稳定,结果准确,适合于解决实际工程问题1关键词SVD分解法,奇异方程,数值计算分类号(中图)O241,TB

2、115在工程数值计算中,许多问题可转化为求解线当m=n时,(4)式可写成以下形式[1]性方程组Ax=b.若将系数矩阵A分解为X120TwA=UV,(1)TX00UAV=r≡Dm×n=F,(6)m×nm×mn×nw其中A∈R,U∈R,V∈R,U,V是正交阵,Xn2=diag(X1,X2,⋯,Xr),并有Xj>0(j=1,2,⋯,当m

3、中前r列正交向量组构成的w•Xm•n×r阶矩阵1若矩阵A的广义逆定义为(7)-1-1TA=V12U1,(2)如果(1)式成立,由(5)、(6)和(7)式得[2]则方程Ax=b的解可表示为TTTTA=UFV,A=VFU.(8)-1-1Tx=Ab=V12U1b.(3)由上式得(1)式称为系数矩阵A的SVD分解式(Singu2T2TTT2AA=VDV,V(AA)V=D,(9)larValueDecomposition)1T式中V的所有列向量为AA的特征向量,并且均为2T[3]规范化正交组,Xi(i=1,2,⋯,n)为AA的特征值;1矩阵的SVD分解法TU

4、的所有列向量也为对称阵AA的特征向量1下面讨论矩阵A的SVD分解式的存在性1下面来构造正交矩阵U,V1m×n假设对于矩阵A∈R(1)式成立,即2TT设Xi(i=1,2,⋯,n)是AA的特征值,且AAX1•w•0存在规范化正交特征向量组{v1,v2,⋯,vn},即T2r×r0UAV=Xr•≡.(4)T200m×nAAvi=Xivi(i=1,2,⋯,r),⋯⋯⋯⋯•⋯(10)T0•0AAvi=0(i=r+1,⋯,n).当m>n时,(4)式可写成以下形式构造V={vn×n1,v2,⋯,vn},V∈R为正交阵,令X11wui=Avi(i=1,2,⋯,r),

5、(11)XiXrTDn×nT2UAV=w≡=F,(5)显然,{u1,u2,⋯,ur}为AA的特征值Xi(i=1,2,Xn0m×n⋯,r)所对应的特征向量,且满足(ui,uj)=Dij(i,j=⋯⋯⋯⋯⋯m01,⋯,r)1在R中补充向量ur+1,⋯,um,使{u1,u2,3宁夏区教委基金资助项目收稿日期:1998-01-08第一作者:男,1967年生,硕士研究生,研究岩土力学数值分析1126宁夏大学学报(自然科学版)第19卷m⋯,um}为R中一个规范化正交基,再令U={u1,得计算结果误差较大1而用SVD分解法构造已知m×m⋯,ur,⋯,um}∈R为

6、正交阵,则由(10)和(11)式得向量组的正交规范化基,既简单又准确1其方法如下:Tm×nAV=UF或UAV=F.(12)首先构造一个矩阵A∈R,其列向量为已知(12)式说明矩阵A的SVD分解式是存在的,向量,即A={a1,a2,⋯,an}.且对任意的矩阵总能找到这样的分解式1再由(1)式求得矩阵A的SVD分解式20TA=UV,002用SVD分解法求解线性方程组并有Rank(A)=r(r≤n),则正交阵U的前r列向量由上节知,矩阵A总可分解为(1)式的形式,且{ui}(i=1,⋯,r)即为所求正交规范化基1[2]矩阵A的值域可表示为U的前r列张成的

7、子空间4SVD分解法的数值方法nR(A)={yûy=U1x,x∈R},(13)其中U1={u1,u2,⋯,ur},并有Xi>0(i=1,⋯,r)1本文采用Householder变换和变形QR算法对矩阵A的零空间可表示为V的第r+1到n列一般实矩阵进行SVD分解,并用FORTRAN语言向量张成的子空间[2]编制了SVD1FOR程序1n},并有X整个计算过程分两大步:N(A)={xûV2x=0,x∈Ri=0(i=1+(1)用Householder变换将A化为双对角阵;r,⋯,n),式中V2={vr+1,⋯,vn}.下面用SVD分解法求解线性方程组Ax=

8、b,其(2)用变形的QR算法进行迭代,计算所有的奇中A∈Rm×n,x∈Rn,b∈Rm.异值Xi(i=1,⋯,n)1(1)当