利用分段函数解数学应用题

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2002年第11期数学通报43利用分段函数解数学应用题门德荣(辽宁省辽中县一高中~o2oo)在高中教材中，有分段函数定义：“有些函数图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，时间的关系用图2的抛物线段表示．对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数”．分段函数在现实的市场经济中有着广泛的应用．就在近年来的高考试题中也常出现．现举例如下，供学习参考．1“工业生产”问题例1某车间生产某种产品，固定成本2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益图l图2(总收

2、益指工厂产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量p(单位：件)的函(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数数，满足关系式关系式P=f(t)，写出图(2)表示的种植成本与R=f(Q)时间的函数关系式p=g(t)．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，J4OOQ一吉Q(0≤Q≤400)，问何时上市的西红柿纯收益最大?【80000(Q>400)·(注：市场售价和种植成本的单位：为每102求每年生产多少件产品时，总利润最大?此时的价格：元．时间单位：天)总利润是多少元?分析要注意对两个函数：P=f(t)与p：分析弄清“收益”“成本”“和

3、J润”的概念以g(t)的理解．由图1求得分段函数厂(t)，由图及它们之间的关系是解决本题的关键．另外要注(二)求得二次函数g(t)，依题意知：／(t)一g(t)意成本包括固定成本及生产产品所增加的成本两等于纯收益函数h(t)，(相减时要注意定义域)，部分．它是分段函数，从而求最值使问题得到解决．解设总利润为Y元，则解(1)由图1可得市场售价与时间的函数Y=R—lOOQ一20000关系为J3OOQ一1Q一20OOO(0≤Q≤400，Q∈Z)，“、一f300一f(0≤f≤200)，=1厶【2t一300(200

4、>400，Q∈Z)．由图2可得种植成本与时间的函数关系为J一寺(Q一30o)+25000(0≤Q≤400，Q∈Z)，g(f)=(f一150)+100(0≤f≤3oo)．：、t60000—10OQ(Q>400，Q∈Z)．(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得当p>400时，Y是减函数，Y<20000；h(t)=f(t)一g(t)当Q≤400时，Y是Q的二次函数；当p=300时，Y有最大值25000．f一“吉t+(0≤t≤200)，所以每年生产300件产品时利润最大，最大【一_“‘+t一—T(一200

5、0≤t≤200时，配方整理得2“蔬菜销售”问题^(f)=一(f一50)+100，例2[2000年全国高考试题]某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用大值100；维普资讯http://www.cqvip.com2002年第11期数学通报当200n，将=9代人②式，得h(￡)=一(￡一350)+100，9：2(9一n)+8+C．所以，当t：300时，h(t)

6、取得区间(200，300]上所以2a：C+17，与③式矛盾．的最大值87．5．故9≤n，则一月份的付款方式应选①式．可综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0，知8+C：9，故C：1．代人③式，得n=10．300]上可以取得最大值100，此时t：50，即从二综上，得n=10，b：2，C：1．月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最4“依法纳税”问题大．例4[2000年第三届北京高中数学知识应3“节约用水”问题用竞赛试题]《中华人民共和圉个人所得税法》第例3我国是水资源比较贫乏的国家之一，十四条中有下表：各地采用价格调控等手段来达到节约

7、用水的目个人所得税税率表——(工资、薪金所得适用)的．某市用水收费的方法是：水费：基本费+超级别税率(％)额费+损耗费．若每月用水量不超过最低限量nrI1=l时，只付1不超过500元部分5基本费8元和每户每月的定额损耗费C元；若用2超过500元至2000元部分10水量超过nrI1=l时，除了付同上的基本费和损耗费3超过2000元至5000元部分15外，超过部分每rI1=l付b元的超额费．已知每户每4超过5000元至20000元部分20月的定额损耗费C不超过5元．5超过20000元至4OO00元部分25该市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和

8、支付费用如下表所示：6超过4OO00元至600OO元部分307超过600OO元至80000元部分35月份用水量水费8超过80000元至1