2014版高考数学(理科)二轮复习温习 中档大题保分练(四).doc

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1、中档大题保分练(四)(推荐时间:50分钟)1.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,且满足=.(1)证明:b+c=2a;(2)若b=c,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形OACB面积的最大值.(1)证明 由题意知:=,解得:ω=,∵=,∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA,∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2s

2、inA,∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA,∴sinC+sinB=2sinA⇒b+c=2a.(2)解 因为b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形,SOACB=S△OAB+S△ABC=OA·OBsinθ+AB2=sinθ+(OA2+OB2-2OA·OBcosθ)=sinθ-cosθ+=2sin+,∵θ∈(0,π),∴θ-∈,当且仅当θ-=,即θ=时取最大值,SOACB的最大值为2+.2.张师傅驾车从公司开往火车站,途经4个交通岗,这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段,每个路段的驾车时

3、间都是3分钟,如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概率都是.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率;(2)记张师傅此行程所需时间为Y分钟,求Y的分布列和均值.解 (1)如果不遇到红灯,全程需要15分钟,否则至少需要16分钟.所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P=1-4=.(2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X,则X~B,P(X=k)=Ck4-k,k=0,1,2,3,4.依题意,Y=15+X,则Y的分布列为Y1516171819PY的均值E(Y)=E(X+15)=E(X)+1

4、5=4×+15=.3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;(3)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°.(1)解 当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,∴EF∥PC.又∵EF⊄平面PAC,而PC⊂平面PAC,∴EF∥平面PAC.(2)证

5、明 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),F,D(,0,0).设BE=x,则E(x,1,0),·=(x,1,-1)·=0,所以PE⊥AF.(3)解 设平面PDE的法向量为m=(p,q,1).由(2)知=(,0,-1),=(x,1,-1),由得m=.而=(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°,所以sin45°==,即=,得BE=x=-或BE=x=+>(舍去).故BE=-时,PA与平面PDE所成角为45°.4.设f(x)=x3,等差数列{an}中a3=7,a1+a2+

6、a3=12,记Sn=f(),令bn=anSn,数列的前n项和为Tn.(1)求{an}的通项公式和Sn;(2)求证:Tn<;(3)是否存在正整数m,n,且1

7、)解 由(2)知Tn=,所以T1=,Tm=,Tn=,若T1,Tm,Tn成等比数列,则2=·,即=.当m=2时,=,n=16,符合题意;当m=3时,=,n无正整数解;当m=4时,=,n无正整数解;当m=5时,=,n无正整数解;当m=6时,=,n无正整数解;当m≥7时,m2-6m-1=(m-3)2-10>0,则<1,而=3+>3,所以,此时不存在正整数m,n,且1

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