204版高考数学（文科）二轮复习 中档大题保分练(四)

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1、中档大题保分练(四)(推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足＝.(1)证明：b＋c＝2a；(2)若b＝c，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，求四边形OACB面积的最大值．(1)证明　由题意知：＝，解得：ω＝，∵＝，∴sinBcosA＋sinCcosA＝2sinA－cosBsinA－cosCsinA，∴sinBcosA＋cosBsinA＋sinCcosA＋cosCsinA＝2sinA，∴sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sinA，∴s

2、inC＋sinB＝2sinA⇒b＋c＝2a.(2)解　因为b＋c＝2a，b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形，SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝OA·OBsinθ＋AB2＝sinθ＋(OA2＋OB2－2OA·OBcosθ)＝sinθ－cosθ＋＝2sin＋，∵θ∈(0，π)，∴θ－∈，当且仅当θ－＝，即θ＝时取最大值，SOACB的最大值为2＋.2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与18s之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或

3、等于14s且小于16s认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率．解　(1)由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：50×0.16＋50×0.38＝27，所以该班成绩良好的人数为27.(2)由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的有50×0.06＝3(人)，设为x，y，z；成绩在[17,18)的有50×0.08＝4(人)，设为A，B，C，D，设取出的两个成绩为m，n，若m，n∈[13,14)时，有xy，xz，yz3种情况；若m，n∈[17,18)时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6

4、种情况；若m，n分别在[13,14)和[17,18)内时，ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有12种情况．所以基本事件总数为21种，事件“

5、m－n

6、>1”所包含的基本事件有12种．所以P(

7、m－n

8、>1)＝＝.3．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．(1)求证：PC∥平面EBD；(2)求三棱锥P－EBD的体积．(1)证明　在矩形ABCD中，连接AC，设AC，BD交点为O，连接EO，则O是AC中点．又E是PA中点，所以EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO.又

9、EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.(2)解　取AB中点H，连接PH，则由PA＝PB，得PH⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PH⊥平面ABCD.取AH中点F，连接EF，由E是PA中点，得EF∥PH，EF＝PH，∴EF⊥平面ABCD.∴VP－EBD＝VP－ABD－VE－ABD＝S△ABD·PH－S△ABD·EF，由题意可求得S△ABD＝，PH＝，EF＝，则VP－EBD＝××－××＝.4．设f(x)＝x3，等差数列{an}中a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，记Sn＝f()，令bn＝anSn，数列的前n项和为Tn.(1)求{a

10、n}的通项公式和Sn；(2)求证：Tn<；(3)是否存在正整数m，n，且1

11、时，＝，n无正整数解；当m＝4时，＝，n无正整数解；当m＝5时，＝，n无正整数解；当m＝6时，＝，n无正整数解；当m≥7时，m2－6m－1＝(m－3)2－10>0，则<1，而＝3＋>3，所以，此时不存在正整数m，n，且1