一类加权的Jackson型不等式与Marcinkiewicz-Zygmund型不等式-论文.pdf

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1、2014年4月枣庄学院学报Apr．2014第31卷第2期JOURNALOFZA0ZHUANGUNIVERSITYV01．3lN0．2一类加权的Jackson型不等式与Marcinkiewicz—Zygmund型不等式翟学博(枣庄学院数学与统计学院，山东枣庄277160)[摘要]本文证明了区间[一1，1]上加权Sobolev空间中的Jackson型不等式和Marcinkiewicz—Zygmund型不等式．这类不等式在函数逼近理论和调和分析中有着极为广泛的应用，是计算经典的Kolmogorov宽度和线性宽度的必要工具．[关键词]Jackson型不等式；M—Z型不等式；an权Sobolev空间[中

2、图分类号]0174．41[文献标识码]A[文章编号]1004—7077(2014)02—0001—03O引言经典的Jackson型不等式和Marcinkiewicz—Zygmund(下面简称M—Z)型不等式广泛的应用于函数逼近理论和调和分析中．近几年来，这类不等式在加权和不加权的情形下都有了一些结果．2005年，徐源证明了单位球面、单位球体和单纯形上的加权Jackson型不等式．2006年，戴峰得到了单位球面、单位球体上的M—z不等式．而对于区间[一1，1]上加权Sobolev空间中的Jackson型不等式和n—z型不等式都没有给出明确的证明，本文就对此做了研究，并给出了证明过程．1预备知识及

3、主要结果考虑[一1，1]上的权函数W()：=(1一)(1+)，，>一1／2，用口(1≤P<)表示具有有限范数，1lI邶：=(J，l)IW()dx)1／p，1≤P<。一。的可测函数构成的空间，当P=一时，用连续函数空间c[一1，1]代替～对∈Lp(W棚)，令E(，口：={ll厂一PlI口：P∈}(1．1)，其中n表示次数小于等于r／,的所有多项式构成的空间．因为经典的Jacobi多项式{P}：。构成口的一个正交基并且可以标准化⋯，即P()=()P()，rt=0，1，⋯，构成L口的一个标准正交基，其中口中的内积定义为1．——[I厂，g】：=J／)g()W，口()dx，(1．2)h(，)～只依赖于，

4、．于是对于任意的f∈L：日，都有f=∑tf，Pz】Pp(1．3)接下来给出加权Sobolev空间的定义．[收稿日期]2014—02—10[基金项目]国家自然科学基金数学天元基金(项目编号：11226112)；山东省高等学校科技计划项目(项目编号：J12LI51)．[作者简介]翟学博(1984一)，女，山东济宁人．枣庄学院数学与统计学院讲师，博士．主要从事函数逼近论的研究．·1·枣庄学院学报2014年第2期．x,-j-于给定的r>0，定义分布意St．下／的，．阶分数次导算子为／=(一D。，月)(=∑(后(+++1))以tf，P】JP，(1．4)=0于是，[一1，1]上的加权Sobolev空间定义

5、为p：={∈Lp口：IIfl1口：=Ill¨口+lI(一D，口)虿r(．¨口<∞}．(1．5)我们的主要结果叙述如下：定理1对于f∈p，1≤P≤∞，有E(，p≤nlI(一D)lI(1．6)此不等式为Jackson型不等式，下面的不等式即是M—z型不等式．定理2对于1≤P≤∞∈Ⅱ，我们有2nlI(∑biI毒)I)l／p(1．7)2主要结果的证明首先介绍一些定义和已号．已sJ：=∑tf，P：]Pf(2．1)为部分和算子·令￡(，)：．，7(寺)()(，，)，(，，，∈[一1，1])，其中刀∈C(尺)是[0，∞)上的C一函数，并且满足当0≤t≤1时，-q(￡)=1，当￡≥2时，叩()=0．定义算子(

6、／)()：=J．L(．of，y)y)W，口()dy，∈[一1，1]，(2．2)则对于g∈II，有(g)=g，对于任意的fELp口，(1≤P≤c一。)，有(∈1I，且有I1(llpI郇≤I1，¨厂一(IIp1≤E((2．3)其中E(．口的定义由(1．1)给出．我们先来证明Jackson型不等式．定理1的证明由(C，n)的Ces~ro平均的定义以及(1．2)(1．3)有∽)．椎，P)’其中A=暑，n，∈z+为ces~ro数．由定义(2．1)知部分和算子．s是(C，0)平均，即s(()=∑tf，P】P()=0Ⅳ(()．取=(后(k++卢+1))一以，=()～，令g=tf，P。】+∑△”：：(’)．(

7、2．4)使用Abel变换+1次。得厂=∑tf，】=∑。)=0=0=∑△nn(’)．(2．5)由于△≤k一一，根据中论断1．1和(2．4)(2．5)可得E(，p≤『I厂一g『I，口≤lI△”A：：()『I．口·2·翟学博一类加权的Jackson型不等式与Marcinkiewicz—Zygmund型不等式≤nlI(一D)lI．(1．6)得证．定理1证毕．在证明M—Z型不等式之前，先给出一些有用的记号和