正四面体中的几个性质-论文.pdf

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1、中掌生效理亿．学研版正四面体中的几个性质●祁绍锋在立体几何中，正四面体是一种特殊的正三棱锥，它有一解：四个球网曲相切，球心组成一个正四面体的顶点，正些很重要的几何性质．回顾近几年的高考试题，我们可以发现四面体的棱长为2，此正四面体的高为，所以3：~／1、球最有关正四面体的问题是考查的一个热点．命题者往往以正四面体为载体出题，号查立体几何中有关角和距离的知识点，因高点离桌面的高度+2．此我们很有必要系统地整理它的几何性质，这样有关正四面体的几何问题就能迎刃而解．(2)棱AB与棱CD的距离(正四面体中对棱的距离)．如图5中E、F分

2、别为AB与CD的中点，易证EF为AB与CD的公垂线，EF一√(譬)一(号)。：n一“．三、空间角问题(1)对棱所成的角(异面直线所成的角)为90。．略解：方法一：如图6中G为AC中点，连结FG与EG，则FG—EG一÷“，又图5因为EF=Ⅱ，所以EG+FG一EF。，即EG_-IFG，AD与BC所成的角是9O。．方法二：。．‘AD与BC异面垂直，．。．AD与BC所成的角是9O。．(2)侧棱与底面所成的角(直D斤线与平面所成的角)为arccos．0略解：如图1中AB0为棱AB与底面BCD所成的角，图6·一．号×BE=×5-。一，AB

3、～_L。~3．删s似)一一，AB()一arccos．3(3)两侧面所成的角或侧面与底面所成的角(面与面所成的角)为~rccos1．略解：‘．。BE上CD，AE上CD，方法一：如图1中AEO为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在Rt~AEO中，EO=了1BE一+AE，AE。一1Nv2ZAEO=a姒。了1，．方法二：如图1中AEB为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，&ABE中，AE—BE：5-，AB一“，3，．3，，_十_“z××球垒成两层放在桌面上，下层放i图4所以AEB：arccos—1个，上层放一个，两两

4、相切，求上层小球最高点离桌面的高度．．分析：四个球的球一tD构成一个正四面体顶点．作者单位：江苏省沭阳高级中学