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1、Z走出误区数学OUCHUWUQUf(x-Δx)-f(x)00f′(x0)=limx→x学0-Δxf(x-2k)-f(x)00或f′(x)=lim0k→0好-2k好f(x+k)-f(x-k)00或f′(x)=lim0k→02k1f(x+)-f(x)导0k0或f′(x0)=lim等.k→∞1k数避f(x0-k)-f(x0)正解limk→02k⊙免1f(x0-k)-f(x0)1安=-lim=-f′(x0)=-2.2k→0-k2徽f(x+Δx)-f(x-Δx)例2若lim00误灵Δx→0Δx=k，则f′(x0)璧=（）区华A.kB.2k腾k飞C.2D.可能不存在f(
2、x+Δx)-f(x-Δx)错解由lim00Δx→0Δxf(x+Δx)-f(x-Δx)=2lim00=2f′(x0)=k，Δx→02Δxk∴f′(x0)=，应选C.2分析许多同学都会认为本题与上题是同一类型，因而误选C.其实本题与上题是有区别的，上题在x0处一定有定义且连续，f(x+Δx)-f(x-Δx)00而本题lim的极限存在，在Δx→0Δxx0处f′(x)可能没有意义，有定义f(x)在x0处可能不连续，这样f(x)在x0处都不可导.f(0+Δx)-f(0-Δx)例如f(x)=x(x≠0)，lim=2，Δx→0Δx但f(x)在x0处不可导.一、对导数的概念
3、理解存在误区f(x+Δx)-f(x-Δx)00正解虽然lim=k存在，f(x-k)-f(x)Δx→000Δx例1已知f′(x0)=4，求lim.k→02k但是y=f(x)在x=x0处可能不连续，导数可能不错解由k→0时，f(x0-k)→f(x0)，2k→0，存在，故应选D.f(x-k)-f(x)∴lim00=f′(x0)=4.k→02k二、对导数的几何意义理解存在误区分析没有充分理解导数定义的形式：f(x)-f(x)f(x+Δx)-f(x)例3下面说法正确的是（）f′(x)=lim0000=lim.x→x)不存在，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))0x-
4、xx→xA.若f′(x00Δx000形式中不仅要求Δx→0，f(x0+Δx)→f(x0)，而且处就没有切线要求分母为分子中两变量之差.在公式中由于Δx形B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线，则式变化,f′(x0)还可以写成：f′(x0)必存在36我愿君王心，化作光明烛，不照绮罗筵，只照逃亡屋。（聂夷中）走出误区数学Z数学走出误区ZOUCHUWUQUOUCHUWUQUΔyΔy所以对任意x∈R都有f′(x0)≥0恒成立，C.若lim不存在，且△x→0时，→∞，Δx→0ΔxΔx22即x-2(4m-1)x+15m-2m-7≥0对一切x∈R则函数y=
5、f(x)在点(x0,f(x0))处切线斜率不存在恒成立，D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存22Δ=4(4m-1)x-4(15m-2m-7)≤0即可，在，则曲线在该点处没有切线解之得2≤m≤4.错解A、B、D由于m=2或m=4时，使f′(x)=0成立的仅是孤分析对导数的几何意义和导数与切线的关系立的点，掌握不全面，y=f(x)在x=x0处可导，f′(x0)为y=f(x)故m的取值范围是[2,4].在点(x0,f(x0))处切线的斜率.在x=x0处导数存在，y=f(x)在点(x0,f(x0))处一四、将定理成立的必要条件当作充要条件使用存
6、定存在切线.在误区Δy在x=x处导数不存在，若Δx→0时，→∞，3220例5函数f(x)=x-ax-bx+a在x=1处有极Δx在x=x0处切线仍存在.值10，则a,b的值为.例如函数y=3x在x=0处导数不存在，但存在ìf′(1)=0,错解由题设条件可得íf(1)=10,切线x=0.⑨ì3-2a-b=0,同样函数y=f(x)在x=x0处存在切线，在点即í(＊)2⑨1-a-b+a=10,(x,f(x))处导数可能存在，也可能不存在.00ìa=3,a=-4,正解通过上述分析知，本题应选C.解之得：í或{⑨b=-3,b=11.分析函数可导，导数值为零只是该处取得极
7、值三、将定理成立的充分条件当作充要条件使用存的必要条件.在误区3要使在x=x0处取得极值，还要求y=f′(x)在x2例4已知三次函数f(x)=-(4m-1)x+3x=x0处左右两侧符号相反（充分条件）.2(15m-2m-7)x+2在(-∞,+∞)上是增函数，则m的上述错解错在把必要条件当作充要条件.取值范围是.ìa=3,a=-4,正解由(＊)可得í或{错解由y=f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数，⑨b=-3,b=11.对任意x∈R都有f′(x)>0恒成立，a=3,22当{时，f′(x)=3x-6x+3=3(x-1)≥0恒22b=-3即f′(x)=x-2
8、(4m-1)x+15m-2m-7>0，成立，对一切x
