完全四点（边）形中三点（线）共线（点）的理论-论文.pdf

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1、第32卷第8期河南科学Vo1．32No．82014年8月HENANSCIENCEAug．2014文章编号：1004-3918(2014)08-1389-02DOI：10．13537~．issn．1004—3918．2014．08．002完全四点(边)形中三点(线)共线(点)的理论赵临龙(安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康725000)摘要：利用笛萨格定理及其逆定理，给出完全四点形中三点共线和完全四边形中三线共点的理论结果．关键词：笛萨格定理；完全四点形；完全四边形；三点共线；三线共点中图分类号：O185．1文献标识码：A

2、ThreePointsCollinearofCompleteQuadrangleandThreeLinesConcurrentofCompleteQuadrilateralZhaoLinlong(InstituteofMathematicsandAppliedMathematics，AnkangUniversity，Ankang725000，ShaanxiChina)Abstract：TheDesarguestheoremanditsinverseareusedandtheoreticalresultsforthreepoi

3、ntscollinearofcompletequadrangleandthreelinesconcurrentofcompletequadrilateralisgiven．Keywords：Desarguestheorem；completequadrangle；completequadrilateral；threepointscollinear；threelinesconcurrent1基本知识定义1平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，叫做完全四点形．三对对边的交点构成的三角形称为三点形．定义2Ⅲ平面内无三线共点

4、的四线及其两两交点所构成的图形，叫做完全四线形．三对对顶的连线构成的三角形称为三线形．对偶命题在平面射影几何中，将一个命题的点换成线，同时将该命题的线换成点，所得新命题称为命题对偶．对偶命题与原命题等价．笛萨格定理D如果两个三角形对应顶点的连线交于一点，则其对应边的交点共线．笛萨格逆定(笛萨格定理的对偶命题)如果两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点连线共点．2理论定理1完全四点形的任意三点构成的三角形与其三点形应边的交点共线．证明如图1，由于Js是△p与△ABC的对应顶点的连线的交点，设其三双对应边的交点分别为：BC与R

5、Q的交点为A。，AC与的交点为B，AB与Pp的交点为C，则根据笛萨格定理，得~：lJA。、B、C。共线．因为PQRS是完全四点形，我们可以得到以下结论．若以为两个三角形AQPS与AABC的对应顶点的连线的交点，设其三双对应边与AB的交点为C。pS与AC的交点为M，P5与BC的交点为Ⅳ，则C、、Ⅳ三点共线．收稿日期：2014—02—10基金项目：陕西省特色专业建设项目(20l1-59)；安康学院科研项目(AYQDZR201111)作者简介：赵临龙(1960一)，男，陕西西安人，教授，研究方向为射影几何．一1390一河南科学第3

6、2卷第8期PDC图1完全四点形的三点共线图Fig．1Threepointscollinearofcompletequadrangle若以P为两个三角形AABC与ASRQ的对应顶点的连线的交点，设其三双对应边AB与SR的交点为D，AC与Sp的交点为M，BC与RQ的交点为A，则D、、A三点共线．若以Q为两个三角形AABC与ARSP的对应顶点的连线的交点，设其三双对应边AB与RS的交点为D，AC与PR的交点为B，BC与SP的交点为Ⅳ，则D、Ⅳ、B三点共线．定理2完全四线形的任意三线构成的三角形与其三线形应边顶点的连线共点．证明如图

7、2．在△C．CD和ASAQ中，c。c与的交点为P，C。D与5p的交点为B，CD与AQ的交点为R．DC图2完全四线形的三线共点图Fig．2Threelinesconcurrentofcompletequadrilateral由于P、R、B三点共线，则根据笛萨格逆定理，得到△C。CD和△SAQ对应边顶点的连线交于一点，从而SC，、AC、DQ三线共点于G．同理的方法，在△CCD与ABPQ中，CC×BR=R，CD×BQ=S，C。D×RQ=A，则CB与CR与DQZ线共点于F．同理的方法，在△CCD与ABPQ中，C。C×BR=R，CD×

8、BQ=S，C。D×RQ=A，则CB与C尺与Dp三线共点于F．在△CC。D与△B中，C。CxSB=Q，CD~BP=R，C。DxSP=A，则C与C。5与DP三线共点于E．在ACC，D与△P中，CCxRA=Q，CDxAP=S，CDxRP=B，则C尺与C与DP三线共点于D．参考文献：[1]周振荣，