对数学定义的认识与思考-论文.pdf

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1、第33卷第3期曲靖师范学院学报V01．33No．32014年5月JOURNALOFQUJINGNORMALUNIVERSITYMav．2014对数学定义的认识与思考黄丽云(曲靖师范学院数学与信息科学学院，云南曲靖655011)摘要：分析数学定义的各种不同形式及相应的研究途径，探讨数学定义对数学研究的影响和意义．关键词：构造性定义；非构造性定义；数学定义的推广；数学定义的歧义；公理化定义中图分类号：O1—0文献标识码：A文章编号：1009—8879(2014)03—0070—04对任何问题进行研究，必须先给予研究对象证明：(反证法)设是黄金分割数，则它满一个确切的认定．在数学中特别重视用数

2、学语言足方程给研究对象一个准确的描述，这就是数学定义．1：=：(1一)．(1)对数学定义的认识往往会影响到与之相关若是有理数，则存在互素的整数m(m≠的研究．一方面，对定义认识得越深刻，研究就能0)与It，使得更深入；另一方面，定义方式的不同，也会影响到n戈=——．m研究方法的变迁．因此，对数学定义的形式作讨论就具有重要的意义．将=代入(1)式并整理，得llL(m+n)(m—n)=，扎n．1数学定义的形式不同，研究方法也不尽当m与n均为奇数时，方程(1)左边为偶相同数，右边为奇数，矛盾；当m与n为一奇一偶时，方程(1)左边为奇数学定义常以构造性或非构造性的形式给数，右边为偶数，亦矛盾．出

3、．一般来说，构造性的数学定义比较直观，容易故假设“是有理数”不成立，即为无理理解，研究和应用大多较为方便．如有理数在中数．类似的例子很多，如平方数的定义是构造性学定义为：形如(m，It是整数，且m≠0)的实数，，‘的，而平方根的定义是非构造性的；三角函数的是有理数．根据这个定义，我们容易对有理数作定义是构造性的，而反三角函数的定义是非构造讨论．而非构造性的数学定义，往往只能作一种性的。数学中有很多成对出现的定义，一方有构描述，没有具体的数学构造形式，这就对其研究造性，而另一方无构造性．对于其中的非构造性定义，我们常常可以借助它们的反面来研究．这造成一定的困难．如无理数的定义：不能写成nt

4、也是数学中很多问题需要用反证法讨论的原因．(m，It是整数，且m≠O)形式的实数是无理数，即然而，构造性定义和非构造性定义并不都是不是有理数的实数是无理数．由于这个定义不能成对出现的．例如极限的定义是非构造性的，但用具体的数学构造形式来描述，讨论时往往是借这个定义就没有反面结构形式(除了逻辑性等价助其反面——有理数来分析．叙述外)可以借助作研究．对于极限，人们开创了例1证明黄金分割数是无理数．一套新的研究方法，并建立了一套崭新的理论体投稿日期：2014—04—10基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目“离散风险模型的推广研究”(08C0179)．作者简介：黄丽云，曲靖师范学院数学与信息科

5、学学院讲师，硕士，主要从事非光滑分析研究·70·黄丽云：对数学定义的认识与思考系．针对构造性定义和非构造性定义，采用的研用定义2最方便．究方法有所不同．但是，并不能把数学定义简单对于定义的多种形式，弄清每一种定义的特分为构造性和非构造性两类．征和优势，在研究中灵活运用，对探讨数学问题如导数和定积分都是在极限的基础上定义是很有益的．的，虽然定义是构造性的，但其基础——极限，却是非构造性的．对它们的研究，差异也很大．3数学定义的推广与扩大化关于导数，从定义出发容易得到相应的公式和法则，这样，至少对初等函数的求导问题研究某些数学定义，推广到其它领域又产生了一起来比较方便．而定积分的定义由于有两

6、个任意些新的概念，由此也推动了数学及其应用学科的性的要求，虽然定义形式是构造性的，但研究却发展．比较困难．可见定义的形式对研究方法和难度都例如，三角函数起源于直角三角形，最初只有着重要影响．讨论锐角的三角函数；后来推广到直角坐标系中，得到了任意角的三角函数；之后又推广到复2数学定义的等价性描述数域，借助三角函数的麦克劳林展开式，得到了复数的三角函数，进而得到复数的指数表示法，定义不一定只有一种描述手段，而往往可以使得复数的讨论更方便．有多种等价描述手段．例如，在实数域中，无理数实数域中的一元函数的连续性推广到n维的描述就有不同的手段：无理数是无限不循环小欧氏空间中的n元函数，进而又推广得

7、到了度量数；又无理数是指不是有理数的实数．在度量空空间和拓扑空间中的连续映射，并且随着人们对间中，紧集也有等价描述：设A是度量空间的连续性的本质的认识加深，提出了更多关于函数子集，如果A中的每个点列都含有子列收敛于A连续性的等价描述；导数从一阶导数推广到了高中的某一点，则称A为紧集；又若A的任一开覆阶导数，又从一元函数的导数推广到了多元函数盖中必可选出一有限子覆盖，则A为紧集I2J．的偏导数，再从函数推广到泛函与集值映射，产多种描述