vcKdV方程的达布变换-论文.pdf

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1、2014．N0．09JournalofHenanScienceandTechnology科教纵横cKdV方程的达布变换蒋文丽吴秀才(河南理工大学万方科技学院，河南郑州451400)摘要：本文借助谱问题的规范变换，使得vcKdV方程的一个解u生成vcKdV方程的另一个新解。关键词：达布变换；谱问题；孤立子中图分类号：0158文献标识码：A文章编号：1003—5168(2014)17—0260—021引言考虑变系数KdV：ut厂(t)uu+g(￡)M=0，(1)一其Lax对：批=u，咖：(咖。，咖)(2)，相应的辅谱问题：也=v4,U(3)。，下列变换=M+12。(17)，其中U．V具有下列形

2、式O1!二2一—f(t)(2x+12—aA+s(t)u)O)6s(t)3s(f)=U=2-。s(t)u-x．证明：aet，c：．——§堡0一；2(x)(，)(18)其中表示T的伴随矩阵，可验证。：是入的2N次其⋯中一x3甜㈨+6(言)_72(的多项式。是的2N+1次的多项式，利用(2)(13)可以得到方————————瓦—___——()fg(t)=t)s(t)五一_6+t一一都是常数’程一+2A一—鲁一直接计算，可以验证A(1≤。一一一，2Ⅳ)是(，／=1，2)的根，则(18)可以改写为：(4)是Painleve条件。2主要结论(+彤)(det(囊P2~2)1_(det((19)o一、，首

3、先引入谱问题的规范变换咖=(5)，其中由下式确定：其中p(k，=1，2，1=O．1)与A无关，方程(19)可写成(TU)=P(A)T(20)。TU=UT(6)，T,+TV=VT(7)比较等式(20)中A，A，A的系数，可得：进而Lax对(2)(3)转化为：=(8)咖严咖(9)，谱问题的规p11pO1pOp2~=0范变换称为达布变换。若它将相应的谱问题转化为相同形式的，，(21)谱问题。·+_I，+ANf+∑∑j=0]一一·p[p~~Bu—l十pDⅣ_1](22)令矩阵具有下列形式Pl∑Cj2+t~flD．~J++(-一)=0+_1](23)(10)，其中P，Aj,，G，D』(1≤Ⅳ)是，t

4、的函数，并且有B=，C由(22)(23)可得pl=一—s(t)u-x一比较A的系数得：设()=(-()，：())，()=(-(Aj)，z(Aj))T是(2)。的两个基本解，适当选取参数A，与，则由线性系统f∑(4+，)=一，一-+_1l+【一z一笔—(24)【～N-．1t、c+)=一(+)()+_1．+C』v，P(DN———)(25)f，其中(12)1~j<-2N。·十+CⅣ一。=1由(10)知，detT(a)是关于A的2N次多项式，且detT(A)一：一)(26)(A，)D(A，)一B(A，)C(A)。故U=P(A)，证毕。由A(A，)=一o'fl(a~)c()=一D()(13)，可得d

5、etT(A)：0，由此可知(1≤2Ⅳ)是detT(A)的2N个根，即detT(A)=若‘P，也同时满足(3)，对=，两端关于t求导，可得，=2N，V=()r(27)，则有下列定理成立：兀(A一)(14)。在规范变换(5)的作用下，(2)式转化为命题2：设P满足一阶微分方程=O(28)l=l则(28)中的矩阵与具有相同的形式，且利用相同的达=[，u=(+r，)7"-‘(15)布变换(17)位势函数，u映射为新的位势函数。利用上面的事实，我们可以得到以下的命题。证明：采用类似命题1的方法。命题1：设P满足一阶微分方程，a(1np)=a(in—)(16)，1Ⅳ设=cdet，T且c+r，=则(15

6、)中的矩阵与具有相同的形式，即U可表示为：(：；；)c2926O科教纵横2014．NO．O9JournalofHenanScienceand‘。—T—e。c。h。n’。’o’。l。o。g—y—通过亘矮计算口J知glI，g12，匏是的2Ⅳ+1次多项式。g21是的乖用(24)(25)(26)和孤子方程(1)通过复杂计算可以得到2N+2次多项式。利用(11)(12)可得一，Vl—o-AVll—V22)+2l(，)(，)++6us(，)一72(30)。qO=———————可———，故=Q(A)，证通过直接计算，A／(／=I，2，⋯，2Ⅳ)是()s，／=1，2)的根，则(29)式写为(T,+TV)T

7、*=(detT)Q(A)，其中Q(A)有以下形式，毕。命题1、2表明：达布变换(17)将Lax对(2)(3)映射为(8))麓吐q~22+q~2，(9)，故两个Lax对利用相容条件得到vcKdV方程。综上所述，我们可得下面定理：其中g(=1，2，l：0，1．2，3)与A无关。所以方程由达布变换(17)可以从vcKdV方程的一个解生成vcKdV(~+TV)T*=(detT)Q(A)等价于T,+TV=Q(A)T(31)，比较等