顺势而上，将探究再深入一步.pdf

《顺势而上，将探究再深入一步.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、材2013年1月案例点评法顺势而上，将探究再深入一步⑩江苏省海门中学孙芸《数学通报》杂志2012年第4期刊登的《一道课本习题MN'I-~过定点Q，则圆锥曲线在点p(x。，yo)处的切线斜率的拓展探究》一文(简称文[1])通过对苏教版选修2—1第与直线尸Q的斜率k之积也为常数m，即触=m(假设斜率37页习题“在AABC中，日(一6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的都存在)，从而揭示了圆锥曲线的一个奇妙的定点性质，现整理成文．斜率之积是，求顶点的轨迹方程”的拓展探究，得出V4命题1如图1，已知点P(切线，，

2、／lM了四个结论，其中探究3和探究4(本文分别记为结论1和)为椭圆X2P：=====+结论2)为：a-吾D一1(6>0)上--IQ、。一点，点、Ⅳ为该椭圆上的动／＼＼＼结论1已知点P(。，yo)为椭圆+=1(0>6>0)上点(与点环重合)，且硎刑=一点，点M、N为该椭圆上的动点，且朋五一，则直线fm为常数且m≠_b2．1，则直图ImMN'叵过坐标原点0．线恒过定点Q(，～—(aZm+bZ)yo)，而且该椭结论2已知点A为椭圆+：1(口>6>0)的左顶圆在点Y。)处的切线斜率与直线尸9的斜率之积也点，点M、Ⅳ

3、为该椭圆上的动点，且聊kzv=m为常数m，即=m(假设斜率都存在)．f＼m为常数且m≠矿1／，则直线叵过定点f＼一m矿，01．证明：(1)当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=一D／文[1]到结论2并例举了2道高考题就结束了探究，笔kx+n，与+=1联立得(6+。)x2+2kna2x+a。n2-b)=0，b‘者以为，就解题教学而言，文[1]是完美的，但就问题拓展由题意△>0，即6+2~n2,设M(xl，Y1)，N(x2，Y2)，则以及培养创新思维而言，显得不够完美，因为一个更一般2kna~的精彩结论离结论2

4、只有一步之遥，只要顺势而上将探究一丽’①再深入一步便可获得．事实上，结论1的着眼点是点JP((n2-b)’)的一般性，结论2的着眼点是直线删与PⅣ斜率乘积kmk~N的一般性，至此可以引导学生将二者结合起来，提2nb九出一个更一般的问题：又yl=kx1+，)，2：2+n，所以()②b／．t2-问题：已知点P(y0)为椭圆X-+告=1(血>6>0)上一点，y。因为m，~1)yl-yo．·—Y2-—Yo=m，整理得．点、Ⅳ为该椭圆上的动点，且

5、j}=fm为常数且m≠}，l-XOX2-X0则直线Ⅳ_黾否恒过定点?／

6、nXix2一(1+2)mxo+mx~-yf2+(y1+y2)一y02=0．通过对上述问题的研究，不难发现结论是肯定的，而将①、②代入上式得：且对双曲线和抛物线也是成立的．更有意义的是，通过类(a2m—b)n+(2kmaZxo+2b2y0)凡+(6。+a)(xgm_y02)+比圆的切线垂直于切点与圆心的连线，即圆的切线斜率n26(2-m)=0．与切点和圆心连线斜率之积为一1(假设斜率存在)，还意又=b2x2+而，02，代入上式整理得外发现了一个有趣结论：在上述问题的条件下，设直线(a2m—b)n2+(2kma

7、2xo+2b2)，0)n+(c+6)(02一y02)=0．高中版中。?毒j《：-?教教案例点评2013年1月变彤得[(a2m—b)n+(a2m+b)(kxo+yo)][n+kxo-yo]=O．命题3如图3，已知点P(。，’切线解得n=yo—kxo(舍去，因P(。，Yo)不在直线删上)，或)为抛物线r~=2px(P>O)上一M(a2m+b2)(kxo+yo)点，点、Ⅳ为该抛物线上的动点n：一——．(n一6‘(与点P不重合)，且kmkev=m(m从而直线腑程y斛n，即y一—(a2m+b2)(kXo4-yo)——

8、—一．~Oy=k[一]一—(a2m+b2)yo，所以直线删恒过触Q(，一(a2m+b2)yo)．(2)当直线MN斜率不存在时，M(x。，Y)，m(x，一yx)，由七删七=m得!二·二二=m，即1：m(。将．02_XI-X0l—0a2b~b2x2o—～l乙堡翌代人得(z】=(斛6z_，。，因m≠b2故得：百(aZm+b2)xo：：，，，所以直线v方程为：，几一一—————一一——'同I．J理凡V一——，13=1．]}V一0T—b‘a'm-b‘-％1-XoYl+yoy2+yo一2b)yozP故直线舭恒过定点Q(

9、，～(a：m+：]；、l王II一UUIJL一—6U／

10、P_．p_：m，得，(y。+)+ly2—4pz+_0，将③代Yt十0y2+Yo综合(1)(2)，直线删恒过定点Qf百(a2m+bE)xo，入得2p—pmn一4p+，=0，解得n=￡一2e+箬，即(a2m+b)yo＼，，纠n一62vn：￡一+。，所以直线删方程为：+一+即又椭圆+吾：1(n>6>。)在点P(yo)处的切线方程：(坳)。一，令：一)，o，则：铷一，