第7章(应力和应变状态分析)

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1、一、应力状态的概念1.点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。点所有方位面上的应力集合。2.一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。力可描述一点应力状态。单元体三对面的应力已单元体三对面的应力已知，单元体平衡知，单元体平衡σyyτyzτyx单元体任意部分平衡单元体任意部分平衡τzyσασxττxzσzxτz

2、τxyαx截面法和平衡条件求得截面法和平衡条件求得z任意方位面上的应力，即点任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。在任意方位的应力。二、应力状态的分类任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力构成的六面体，作用三对主应力σσ11≥≥σσ22≥≥σσ33。。单向应力状态一个主应力不等于零。一个主应力不等于零。二向应力状态两个主应力不等于零。两个主应力不等于零。三向应力状态三个主应力不等于零。三个主应力不等于零。一、任意斜截面上的正应力和切应力yyσσyyyτyτyxyxnσσσσασσ

3、σασαxxxxασσxxττxyττxyαxyττxyττττααxxxxyyααxxzτττyxyxτyxyxtσσyσσyyy∑Fn=0:σαdAA+(ταxydcos)sinα−(σαxdcos)cosAα+(dsτAAin)αασcos(ds−=in)ααsin0yxy∑Fτ=0:ταdAA−(ταxydcos)cosα−(σαxdcos)sinAα+(dsσAAin)cαατos(ds+=in)sααin0yyxyσyτyxσxyxy+−σσσnσσ=+cos2ατ−sin2ασασαxyxx22τατxyxyταxσ−σxyτ=+sin2ατco

4、s2ατyxαxy2σyσσxx、、ττxyxy是法线与是法线与xx轴垂直的面上的正应力与切轴垂直的面上的正应力与切应力，即应力，即xx面上的正应力与切应力；面上的正应力与切应力；σσyy、、ττyxyx是法线是法线与与yy轴垂直的面上的正应力与切应力，即轴垂直的面上的正应力与切应力，即yy面上的正应面上的正应力与切应力。力与切应力。yσyτyxσxyxy+−σσσnσσ=+cos2ατ−sin2ασασαxxx22τατxyxyταxσ−σxyτ=+sin2ατcos2ατyxαx2σy正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元正应力：拉应力为正，压应力

5、为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。斜截面角度：从斜截面角度：从xx轴正向转到斜截面外法线所转过的轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。角度，逆时针转为正，顺时针转为负。例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F=100kN，l=2m，b=200mm，h=600mm，oα=40，求离支座l/4处截面C点在斜截面n-n上的应力。解：⑴求C点所在截面的剪力、弯矩FF==50kNS2FlM==25kNm⋅8⑵求C点在横截面上的正应力、切应力33−My⋅×2510×60010/4×σ=

6、==1.04MPaC31−2I200600××10/12z*39−FS⋅5010××××+×200150(15075)10Szτ===0.469MPaC−−3312bI20010××××20060010/12z1.04MPa(压)τ=σ=C0.469MPaC⑶作出点的应力状态图σx=−1.04MPaσy=0τxy=0.469MPaoα=40σ+−σσσxyxyσ=+cos2ατ−sin2ααxy22−−1.041.04oo=+×−×cos800.469sin8022=−1.07MPaσ−σxyτ=+sin2ατcos2ααxy2−1.04oo=×+×sin80

7、0.469cos802=−0.59MPa二、主应力及主平面位置求与求与zz轴平行任意截面上的最大（小）正应力及方位轴平行任意截面上的最大（小）正应力及方位σ+−σσσxyxyσ=+cos2ατ−sin2ααxy22dσα=0dα2τσxy−σxysin2+cos2=0tan2α=−ατα00xy02σ−σxyσ⎫σσ+−σσmaxxyxy22⎬=±()+τxyσ⎭22minσ−σxysin2ατ+cos2α=000xy2τ=0α0σ−σxyτ=+sin2ατcos2αα2xyσσmaxmax、σ、σminmin作用面上作用面上ττ=0=0，即，即αα00截面为

8、主平截面为主平面，面，σσmaxmax