数学物理方法贝塞尔函数.doc

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1、第七章贝塞尔函数7.1Bessel方程及其幂级数解定义:称Bessel方程为:其中，n为任意实数。当n>0时，取级数解有代入原式，有得，取c=n,有定理：取得有一个特解取c=-n,得另一个特解称Jn(x)为第一类Bessel函数。当n不为整数x-->0时，有Jn(x)-->0,J-n(x)-->∞,则Jn(x)-与J-n(x)不相关。由齐次线性常微分方程通解的结构定理知道，当n不为整数，Bessel方程的通解为由级数收敛差别法，有式中R为收敛半径，可知R=∞,则Jn(x)与J-n(x)的收敛范围为0<

2、x

3、<∞定义：当n为整数时，Jn(x)-称为整数阶Bessel函数例计算J0(1)的

4、前三项和。定理，n为整数时，Jn(x)=(-1)nJ-n(x)证，取m=n+l,得可见正、负n阶Bessel函数只相差一个常数因子(-1)n，这时Bessel方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解。定义1Neumann函数称为第二类Bessel函数。定理：综合上面所述，不论n是否为整数，Bessel方程的通解都可表示为其中，A,B为任意常数；n为任意实数7.2Bessel函数的母函数定义函数称为Bessel函数的母函数。取有定理：7.3Bessel函数的正交性例：求解，由于方程的通解为取有则有的通解为要求y(0)为有限值，得由y(1)=0,得设Jn(x)=0的零点为则有固有值固有值

5、相对应的固有函数为定理：证:由于都为下面方程的解有分别乘相减从0到1积分,当k≠m时，有当kàm时，有证毕。定理：称f(x)在[0,1]中的展开式为例展开f(x)=4解：例：求解，取u=R(x)Z(z),有，则它的固有值和固有函数有由Z(z=0)=0,有取有求得所以第八章Legendre多项式8.1Legendre方程及其幂级数解定义:称Legendre方程为取级数解有代入原式，经过适当的整理，得取c=0,得或定理,y0,y1相互独立.例,求定义,Legendre多项式（或称为第一类Legendre函数）例求定理:定理Legendre多项式满足以下的递推公式定理Legendre多项式序

6、列在区间[-1,1]上正交例展开