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《初三数学中考模型之费马点问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。3.费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。3．费马点为三角形中能量最低点。4
2、．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。例1：已知：△ABH是等边三角形。求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°,∠HGP=60°.∴A、G、P三点一线。再连PD两点。∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵HG=HP
3、∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点一线。∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=1
4、20°,CG=CP,GB=PD,BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。∵∠AGC=120°,∠CGP=60°.∴A、G、P三点一线。∵∠CPD=120°,∠CPG=60°.∴G、P、D三点一线。∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。但它不同于等边三角形的费马点是重心。例3：已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AG
5、C=∠AGB=∠BGC=120°。求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△CGB≌△CPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD,BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。∵∠AGC=120°,∠CGP=60°.∴A、G、P三点一线。∵∠CPD=120°,∠CPG=60°.∴G、P、D三点一线。∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴
6、G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。但它不同于等边三角形的费马点是重心。（费马点问题）如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.解：Part1:将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.Part2:过作的平行线分别交于点，易知.因为在和中，①，②。又，所以③.①+②+③可得，即.综上，的取值范围为.“费马点”与中考试题费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一． 费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和
7、最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．下面简单说明如何找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP=PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以
8、当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°
