初中几何模型费马点最值模型.doc

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1、几何模型：费马点最值模型费马尔问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。费

2、马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究启迪思维探究重点例题1.已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC的值最小.证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△CGB≌△CPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD,BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=6

3、0°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。∵∠AGC=120°,∠CGP=60°.∴A、G、P三点一线。∵∠CPD=120°,∠CPG=60°.∴G、P、D三点一线。∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.过作的平行线分别交于点，易知.因为在

4、和中，①，②。又，所以③.①+②+③可得，即.综上，的取值范围为.例题2.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．解如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG．∵点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．设正方形的边长为，那么

5、BO=CO=，GC=,GO=．∴BG=BO+GO=+．∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴+=，解得=2．注本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．变式练习>>>2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,求PB的值.例题3.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．【解答】，线段A1E为

6、最短．变式练习>>>3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N，

7、∵M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，设D′M交AD于E，∵△ADD′是等边三角形，∴EM＝AB＝500，∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，∴D′E＝AD＝400，∴D′M＝400+500，∴最少费用为10000×（400+500）＝1000000（4+5）元；∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）元．达标检测领悟提升强化落实1.如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，

8、点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．2.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）A．+B．+C．