一元二次方程公共根、有理根、整数根解题技巧

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1、万方数据中学数学杂志(初中)200r7年第4期一元二次方程“公共根、有理根、整数根”解题技巧山东省淄博市博山六中255200司少赓一元二次方程是中学代数中最重要的内容之一，它是代数式简单方程的发展，同时也是学习其他方程、函数、不等式的重要基础．尤其，探索一元二次方程的公共根、有理根、整数根等问题，蕴含着丰富的数学思想．成为各类竞赛中重要考点之一，近几年的中考中，逐渐渗透了类似题型及数学思想，值得观注．下面简单介绍一下此类题的常用解题方法及经验。l公共根例1如果方程菇2一p菇+29=O和菇2一眵+却=0(p≠g)有公共根，

2、求公共根．解因为两方程有公共根，则两式相减，整理得(p—q)(菇+2)=0，因为p≠g，所以茄=一2．即戈=一2是方程的公共根．例2已知两方程菇2+僦+凡=O，石2+麟+m=O有且仅有一个公共根，求m，凡的关系．解两式相减，整理得：(m—n)(舅一1)=O，因为方程公共根唯一，所以m一凡≠0．所以口=1，把Ⅱ=l代入任意一个方程得m，，n的关系：m+n+l=0且m≠儿．小结因为有公共根，所以常采用“两方程相减”的方法解题2有理根例3设矗为整数，且后≠0，方程k2一(七一1)戈+l=0有有理根，求Jj}的值．解若方程有有理

3、根，则△=(忌一1)2一诎为完全平方数，设(奄一1)2—4．j}=m2(m为正整数)，贝0七‘一6后+1一m‘=0。所以(Ji}一3)2一m2=8，(Jj}一3+m)(尼一3一m)=8，因为玉一3+m与磊一3一m同奇同偶，故他们同为偶数，所以f!一：+m2三或r后一3+m=一2L七一3一m=一4解得f七=6或f后=o(舍去)．Lm=lL，孔=l故所求后的值为6．例4m为给定的有理数，问五为何值时，方程菇2+4(1一m)髫+3m2—2，n+4盂=0的根总为有理数?解因为△=[4(1一m)]2—4(3m2—2m+4矗)=4(

4、m2—6m一4后+4)，要使原方程有有理根，只需△为完全平方式；而要使△为完全平方式，只需代数式膨=m2—6m一4．j}+4为完全平方式，也就是膨的判别式“=O，所以△村=36—4(4—4七)=20+16后=0，解得玉=一÷，所以当磊=一÷时，原方程的根总为有理数．小结①△=62—40c是完全平方数铮方程有有理根；②一个字母系数的问题，常采用分解因式的方法，然后进行讨论；两个字母系数的问题，常利用“判别式的判别式为0”§原方程有有理根的方法．3整数根例5已知方程茗2+(8—6)石+n=0(8万方数据中学数学杂志(初中)2

5、007年第4期47≠O)的两根都是整数，求整数n的值．解①换主元法：口=警{手=7一菇一—鲁，因为茗和口都是整数，所以茁=一2，一8，0，6，此时口=16或0(舍去)．故n=16．②韦达定理法(根与系数的关系)：设方程的两根为名l，茁2(zt≥茗2)，则口￡二：葛①o石l’石22n吲①+②得石l+菇2+戈l髫2=6，所以(菇l+1)(吃+1)=7，譬：》巴：三二；所以f善t=6(舍去)或f石-=一2所以Ⅱ=16．例6若一元二次方程口≯+2(2口一1)石+4(口一3)=0至少有一个整数根，求正整数Ⅱ的值．解Ⅱ=揣因为口是正

6、整数，所以．z≥．1，即：糍≥l，所以髫2+2算一8≤o，(菇+4)(髫一2)≤O，所以一4≤茁≤2，所以戈只能取一4，一3，2，±l，0。=1，等，3，6，lo．小结整数根问题常用方法：①韦达定理法；②换主元法。浅谈因式分解山东省巨野第二中学274900李兰云因式分解主要讨论两个基本问题：1．怎样判断一个多项式是否可约；2．如果一个多项式是可约的，究竟如何去分解．关于第一个问题的回答是具有相对性的，这就是说，一个多项式是否可约是相对于数的范围来说的．例如分解≯一4的因式：在有理数范围内，得∥一4=(搿2+2)(石2—2

7、)，在实数范围内，等式右边的第二因式可以再分解，得∥一4=(石2+2)(茗+在)(髫一拉)，在复数范围内，等式右边的第一个因式，还可以分解成下面的形式：茁4—4=(菇+√2i)(石一√乏i)(菇+√2)(茁一厄)．在复数范围内只有一次式是既约的，任何次数大于1的多项式，都可以分解成一次因式的乘积．在实数范围内，次数大于或等于3的多项式总是可约的，这就是说，在实数范围内，除一次式是既约以外，可能有的二次式也是既约的，一个关于菇的二次多项式Ⅱ菇2+缸+c(口≠O)是既约的充分必要条件是判别式62—4口c<0，但是不存在次数大

8、于等于3的既约多项式．在有理数范围内，情况比较复杂，除一次式是既约的以外，次数高于1的多项式，都可能是既约的，也有一些判定多项式的是否可约的定理．例如一个称为艾森斯坦因既约性判定法，就是如下的定理：设苁戈)是一个整系数多项式，如果它的次数最高的项的系数以外的所有各项的系数一元二次方程"公共根、有理根、整数根"解题技巧