向量的运算方法法则.doc

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1、（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：。2）分配律：，。（2）向量的数量积运算法则：1）。2）。3）。（3）平面向量的基本定理。是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量，有且仅有一对实数，满足。（4）与的数量积的计算公式及几何意义：，数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。（5）平面向量的运算法则。1）设＝，＝，则+＝。2）设＝，＝，则-＝。3）设点A，B，则。4）设＝，则＝。5）设＝，＝，则＝。（6）两向量的夹角公式：（＝，＝）。（7）平面两点间的距离公式：＝（A，B）。（8）向量的平行与垂直：设＝，＝，且0，

2、则有：1）

3、

4、＝。2）（0）·＝0。（9）线段的定比分公式：设，，是线段的分点，是实数，且，则（）。（10）三角形的重心公式：△ABC三个顶点的坐标分别为、、，则△ABC的重心的坐标为。（11）平移公式：。（12）关于向量平移的结论。1）点按向量＝平移后得到点。2）函数的图像按向量＝平移后得到图像:。3）图像按向量＝平移后得到图像:，则为。4）曲线:按向量＝平移后得到图像:。设a=（x，y），b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。  向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向

5、量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。[1]2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被  向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。3、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；  向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数

6、λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如

7、果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2]4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=

8、a

9、·

10、b

11、·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b/

12、a

13、·

14、b

15、）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b

16、=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=

17、a

18、的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。

19、a·b

20、≤

21、a

22、·

23、b

24、。（该公式证明如下：

25、a·b

26、=

27、a

28、·

29、b

30、·

31、cosα

32、因为0≤

33、cosα

34、≤1，所以

35、a·b

36、≤

37、a

38、·

39、b

40、）向量的数量积与实数运算的主要不同点1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。3．

41、a·b

42、与

43、a

44、·

45、b

46、不等价4．由

47、a

48、=

49、b

50、，推

51、不出a=b或a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积  向量的几何表示（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=

52、a

53、·

54、b

55、·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a垂直b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=-b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×

56、b+a×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定