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1、http://www.paper.edu.cn弹性地基梁结构模态分析张渔勇武汉理工大学道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室，湖北武汉(430070）E-mail：zhyy0214@163.com摘要：推导文中设定边界情况下弹性地基梁振型函数，并由弹性地基梁的控制方程推导弹性地基梁的频率公式。通过计算机仿真分析，比较分析计算频率与理论频率误差，并获得该梁的振动模态。分析表明，文中所建立的有限元模型合理，频率误差很小，满足工程精度要求。关键词：弹性地基梁；频率；模态1.基本理论如图1所示，建一两端可上下滑动、跨长为L的欧拉梁(忽略其剪切变形和转动惯量)，荷载P以速度s从弹性地基梁上通过，此时系统的控
2、制方程为：l2P2P1sρEIKxstL图1弹性地基梁移动荷载模型24n=2∂∂vxt(,)vxt(,)ρδ24++EIKvxt(,)=−∑Ptii()(xstl−)(1-1)∂∂txi=1ρvxt(,)Pt()式中，：弹性地基梁单位长度的质量；：荷载位于x处t时刻的动挠度；K：地基弹性模量；EI：弹性地基梁的抗弯刚度；δ()x−st：狄拉克函数；Pt()：弹性ll=0地基梁上移动荷载。i为第i个荷载到第一个荷载的距离，其中1。2.两端可上下滑动支座情况振型函数推导梁的振动如下式所示：vxt(,)=+XxA()(sinωtBcos)ωt(1-2)ω,()Xx式中分别为自振频率、振型函数。将(1
3、-2)式代入下式，24∂∂vxt(,)vxt(,)ρ+=EI024∂∂tx(1-3)可得到：4dX4−=kXx()04dx(1-4)24ρωk=式中EI式子(1-4)的通解为：-1-http://www.paper.edu.cnkx−kxX()xA=++eAeAkcosxAk+sinx1234(1-5)X()x=+++BchkxBshkxBcoskxBsinkx或1234(1-6)令11⎫Bc=+=+()c,()Bcc113224⎪22⎪11⎪Bc=−=−()c,()Bcc313424⎪⎪22⎬A=+11(cchkxoskxB),(s=+shkxinkx)⎪kxkx22⎪⎪11Cc=−(chk
4、xkosx),(sDs=−hkxkinx)⎪kxkx22⎪⎭(1-7)X()x于是又可以表示为：X()xc=+++AcBcCcD1234kxkxkxkx(1-8)ABCD,,,kxkxkxkx称为影响函数，它们之间存在以下微分关系：dAdBkxkx==kD,kAkxkxdxdxdCdDkxkx==kB,kCkxkxdxdx另外这些函数还具有以下极为重要的特点，即当x=0时：'''''AAAA====1,0,0,0;⎫kxkxkxkx⎪''''''BBk====0,,BB0,0;⎪kxkxkxkx⎬'''2'''CCCk====0,0,,C0;⎪kxkxkxkx'''''3⎪DDDDk====0
5、,0,0,.⎭kxkxkxkx(1-9)cccc,,,由于影响函数具有以上特性，故便于以初参数表示积分常数1234。通常将坐标原点置于梁的左端，则根据左端的边界条件：''''M00'''QXX(0)=,XX(0)=,X(0)=−,X(0)=−00EIEI(1-10)可以求得：111'M00QcXcXc==(0),(0),=−=,c−123234kkEIkEI(1-11)这样(3-8)式就可以表示为：111'MQ00X()xXAXB=+−C−D00kxkx23kxkxkkEIkEI(1-12)对x求导数，得到：''11MQ00X()xk=+−−XDXABC00kxkxkx2kxkEIkEI(1-
6、13)-2-http://www.paper.edu.cnMx()2'MQ001=−kXC−kXD+A+B00kxkxkxkxEIEIkEI(1-14)Qx()32'MQ00=−kXBkXC−+kD+A00kxkxkxkxEIEIEI(1-15)'上式中影响函数ABCDkx,,,kxkxkx可由文献[1]。X0000,,,XMQ为四个初参数，分别代sin(ωt+=γ)1表时梁左端的位移、倾角、弯矩、剪力。这四个初参数在任意支座条件下，必有二个为已知，另二个为未知。[2]表1支座已知参数与未知参数支座情况已知参数未知参数'XQ00==0X00,M对两端可上下滑动支座情况，梁的边界条件为：'x=0
7、时，XQ00=0,=0'x=l时，XQll=0,=0利用式(1-12)并考虑上述边界条件可得：1M0X()xXA=−C0kx2kxkEI(1-16)'XQ=0,=0由右边的边界条件当x=l时，ll，代入式(3-13)与(3-15)可得：Bkl⎫kDX−=M0kl00⎪⎪kEI⎬−+=kBX3kDklM0⎪kl00EI⎪⎭(1-17)X,M令00的系数行列式等于零，即得频率方程：22DB−=0klk
