固体物理13-18参考答案

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1、习题18.1一维周期势场中电子的波函数ψ(x)应当满足布洛k赫定理。若晶格常数时a，电子的波函数为：πxx3π(1)(ψψxx)==sin(2)()icoskkaa∞(3)ψk(xf)=−∑(xla)l=−∞∞l(4)ψk(xf)=−∑(1)(x−la)l=−∞其中f(x−la)是个确定的函数。试求布洛赫电子在这些状态的简约波矢。4.3电子周期场的势能函数为1222mbω−−()xna,当na−b≤x≤na+bVx()=20,当(na−1)+≤bx≤na−b其中a=4b，ω为常数（1）试画

2、出此势能曲线，并求其平均值。（2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度。势能曲线L11−ikxikx势能的平均值：Ve=∫V()xedxLL0na+b11−ikx2221ikxVN=−∫emω[(bx−na)]edxLL2na−bna+bN222Vm=−ω∫[(bx−na)]dx2Lna−b令＝ξxn−=a，LNa+b21222a2Vm=−ω∫[]bξξd=mω29a6−b2π11aain⋅ξiKn⋅ξaVn()==∫∫eV()ξdξξeV()dξaa001222mbωξ()

3、−,当−≤bξ≤+b将Vx()=2代入0,当+≤bbξ≤−2π11+bin⋅ξ222Vn()eam(b)d=−∫ωξξa−b222πm+bin⋅ξω22eba()d=−∫ξξ2a−b22πm+biξω22a()Ve=−bξdξ1∫2a−b24πm+biξω22a()Ve=−bξdξ2∫2a−b晶体的第一个禁带宽度：E=2Vg11晶体的第二个禁带宽度：E=2Vg22例题4.12设有二维正方晶格，晶体势场为　22ππUx(,y)=−4Ucosxcosyaa用近自由电子近似的微扰论，

4、近似求出布里渊区顶角,ππ,处的能隙。aa解:22ππ2π2πUx(,y)=−2Ucosx+y+cosx−yaaaa2ππ22ππ222ππ22ππi,,()xyi−−,,()xyi,()x,yi−,−()x,y=−Ueaa+eaa+eaa+eaa因此只有22πππ22π2π2ππ22π,,−−,,,−,−,aaaaaaaa这四个倒格矢的傅氏展开系数

5、为−U,其余的傅氏展开系数为0。ππ因为,k=,在布里渊区顶处，自由电子能量是四重简aa并的KππnKki()−=0k=(,)n2aa22πππ22πKK==0,(0,),K=(,0),K=(,),0123aaaa相应的傅氏展开系数为:0,0,0,−U。它们相应的零级能量都相等。1ik()+Kir波函数展开式为Ψ=()ra∑(K)emkmNΩm波函数中除了含有aa(0),(K12),a(K),a(K3)的项外，其它项都可忽略，波函数可近似为1ikirik()++K12iirik(K)rΨ=()r

6、a[(0)e+a(K)e+a(K)ek12NΩik()+K3ir+aK()e]3薛定谔方程HrΨ()+ΨH'(r)=EΨ(r)0kkk00aE()−+EUφφ+aK()()E−E+U01KK01000+−aK()(EE+U)φφ+a(K)(E−E+U)=020KK23300*0*0*0*分别以φK,,φφKK,φK左乘方程，对x积分,可得0123()E−Ea(0)++UaK()Ua(K)+UaK()=001KK01−−KK022KK0−33Ua(0)+(E−E)aK()++=Ua(K)UaK()0KK10−

7、−0123KK12KK1−3Ua(0)++Ua(K)(E−E)a(K)+Ua(K)=0KK20−−KK21102KK2−33Ua(0)++Ua(K)Ua(K)+(E−E)a(K)=0KK30−−KK3112KK3−203由aa(0),(K),a(K),a(K)的系数行列式等于0123EEU−UU0−−KK12−K3UE−EUUKK110−−K2K1K3=0UUE−EUKK22−−K10K2K3UUUE−EKK33−−K1K3K20EE−−00U000EE−−U0=000−−UEE0−−UE00E044()E

8、E−−=U00E的四个根为：E++−U,,EUEU,EU−0000因此能隙为2U例题15.1某种简单立方结构晶体，按近自由电子近似求得电子的费米能为：E=E−

9、U

10、+∆FK/2K此处K=2π/a(1,0,0)，E为K/2点自由电子的能量，U为K/2K对应K的傅立叶系数。证明：(1)当∆<0时费米面只在第一布里渊区内(2)当0<∆<2

11、U

12、时费米面与第一布里渊区的交线为一圆K2m∆周，其半径为2=(3)当∆>2

13、U