行列式立命館大学.ppt

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1、行列式方程式の解Cramerの公式余因数展開12元1次連立方程式の解xを求めるには(1)×d-(2)×bとして-)同じくyを求めるには(1)×c-(2)×aとして2行列とベクトルで表現はと書ける.行列　　　　　　　　　　に対して定義される行列式を考える．[注]行列式は　スカラー値先に導いたx,yの解の分母は　行列式．では分子は？　実は以下のように書ける．3行列式は　タスキがけ右斜め下への掛け算ー左斜め下への掛け算方程式の解の分子も，何かの行列の行列式xの分子：xの係数を定数項と置換しタスキ掛けyの分子：yの係数を定数項と置換しタスキ掛け乗算の符号が正乗算の符号が負4行列式の幾何

2、学的解釈２ベクトルが形成する　平行四辺形　の面積xyA(a,c)B(b,d)ECaDO[証明」　直線BCのy切片をDとする．この直線は点（b,d）を通り，傾きはc/aだから△OBD≡△ACE(合同)だから，平行四辺形OACBと平行四辺形OAEDの面積は等しい．平行四辺形OAEDの高さはaであり，底辺ODは，直線BCのy切片の値で，(1)でx=0としてよって，平行四辺形の面積は，底辺×高さで(1)5方程式　　　　　　の解の幾何学的解釈xの解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の分母はが作る平行四辺形の面積分子は　　　　　　　　　とが作る平行四辺形の面積よって，xは２つの平行四

3、辺形の　面積比方程式を　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とみなすとxは赤枠の平行四辺形に対する，青枠の平行四辺形の面積比yは赤枠の平行四辺形に対する，緑下線の平行四辺形の面積比6の行列式detAの性質転置行列の行列式は元の行列と等しい行の交換または列の交換は(-1)×元の行列式行列行または列が同じ行列の行列式は0行が同じ列が同じ7特定の１行または１列のλ倍はλ×元の行列式1行をλ倍1列をλ倍特定の１行または１列に加算した場合行に加算列に加算元の行列式＋加算分の行列式元の行列式＋加算分の行列式8特定の行に他方の行のλ倍を加算の場合または特定の列に他方の列のλ倍を加算の場合

4、いずれも，もとの行列式のまま行の場合　　　　　　　　　　　　　　　　とすると列の場合とすると9上三角行列の行列式は対角要素の積対角要素よりも下の要素がすべて0の行列に対する上三角行列はこのとき3元連立一次方程式の解と行列式（2）（3）でy，zに注目zを消去して引き算でyのみに行列式で表現yを消去してzのみにするのも同様に(4)(5)10(1)に　　　　　　　　　　　　　をかけてこれに(4),(5)を代入してxで整理して11xの係数が0でないとき分母を書きだすとこれをと定義する．分子は分母のa11→b1,a21→b2,a31→b3と置換，つまりxの係数を定数項で置換しているので(

5、6)12y,zでも同様にとなり，きわめて整然とした規則性があることがわかる．式(6)より，ある次元の行列式は，１つ低次元の行列式達に，特定の係数をかけたものの総和である．分母の行列式は，x，y，zのすべてで同一分子の行列式は，該当する未知数の係数を定数項で置換したもの整然とした規則性13n元一次方程式へ発展はとして，　　　　　，つまり，以下のように表記可能14Cramerの公式解は先の規則から分母はdetA分子は，未知数の係数を定数項で置換した行列式15行列式の求め方にも規則16行列式の性質を用いた行列式の計算行列式の計算では，各行から要素を１回ずつもれなく取り出し掛け合わせる

6、．行列式の性質①から⑥で上三角行列を作る．上三角行列になれば，対角以外の要素は0と掛けられる．よって，対角要素の積のみSarrusの公式行列式の性質を利用性質⑥性質⑥性質⑥性質⑦17遇置換と奇置換行列式の計算では，各行から要素を１回ずつもれなく取り出し掛け合わせる．(順列の考え方)順列で作った各要素に符号をつけ，足し合わせる．符号の付け方：左の添え字の昇順の流れで，右の添え字が昇順に反することが偶数回あるとき符号は＋（これを遇置換という）昇順に反することが奇数回あるとき符号はー（これを奇置換という）右の添字は1<2,1<3,2<3で反すること0回だから偶置換右の添字は2>1,2

7、<3,1<3で反すること1回だから奇置換18行列式の計算の規則をよく見ると右辺の行列式はa11の下側の要素が0の行列を考えるのと同じ右辺の行列式にかかる符号は，赤枠の要素がaijならとすると，偶置換，奇置換の計算結果とぴったり合う←0があるため，行列式の計算が楽になる19余因子n次の行列式をaijで展開した式の項はaij×（-1）i+j×（第i行第j列が欠けた）n-1次の行列式aijの余因子Aijを下線部と定義する．Aij=（-1）i+j×（第i行第j列が欠けた）n-1次の行列式[例]を第1