线性代数前四章复习.ppt

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1、行列式的性质性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.（倍乘）性质1行列式与它的转置行列式相等.性质4对换两行,行列式值反号.（对调改变符号）性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.（倍加不改变行列式）性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.设A,B为n阶矩阵,则有

2、AB

3、=

4、A

5、

6、B

7、.行列式Laplace[按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数

8、余子式乘积之和.即设A=(aij)为n阶方阵,则有矩阵1.矩阵的定义一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、三角阵、对角阵、数量阵、单位阵2.矩阵的基本运算矩阵相等:同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：乘法满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律A是n阶方阵，方阵的幂：方阵的多项式：并且（m,k为正整数）方阵的行列式：满足:转置矩阵:一些特殊的矩阵:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.满足：对称矩阵和反对称矩阵：幂等矩阵：为

9、n阶方阵，且伴随矩阵：若若若3.逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.判定定理:n阶方阵A可逆且推论：设A、B为同阶方阵，若则A、B都可逆，且满足规律：逆矩阵求法：（1）待定系数法（2）伴随矩阵法（3）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．4.分块矩阵5.初等变换对调变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等

10、变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.与矩阵的相似、合同相互比较定理：解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆)矩阵方程解Ⅰ、秩（A）：A的不等于0的子式的最高阶数。Ⅱ、秩的基本关系式：Ⅲ、关于秩的重要结论：6、矩阵的秩Ⅳ、秩的求法：1）初等变法：2）若P可逆，则4)当时，5)4)矩阵秩的等式的证明（1）证思路（2）证思路则则有r阶子式不为0所有r+1阶子式全为0例如：设为阶矩阵，为阶单位矩阵。证明：证：综上，一.向量组的线性相关性1.向量间的线性运算：加法、数乘

11、。2.线性组合、线性表示(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法方法1：只要证出就可得出向量组的线性相关性(2)在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论1：向量可由向量组线性表示结论2：若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式唯一。方法2：证下列非齐次线性方程组有解方法3：利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵(2)利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关对应分量成比例n＋1个n维向量线性相关。部分相关整体相关；整体无关部分无关。3.线性相关性的判别方法(1)一

12、般方法：设数使得成立转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。(3)利用向量组的秩判断：设向量组的秩为当时，线性无关。当时，线性相关；4.极大无关组的选取或证明(1)初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵初等行变换行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，例如：求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：是一个极大无关组并且考虑：还有那些极大无关组？初等行变换一定要化成最简型不能用列变换(2)极大无关组的证明方法1：利用定义线性无关

13、；其它向量都可由线性表示。（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）方法2：已知是向量组A的一个极大无关组，又A中部分组与等价，则也是A的一个极大无关组。例如：设是向量组A的极大无关组，且证明也是A的极大无关组。证明：（即证与等价）向量组可由向量组线性表示。又向量组可由向量组线性表示。两个向量组等价也是极大无关组。二.矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的几个重要定理：（1）若向量组可以由向量组线性表示，则(2)(三秩相等)矩阵A的秩＝A的行秩＝A的列秩。