有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用

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1、第５２卷第４期复旦学报（自然科学版）Ｖｏｌ．５２Ｎｏ．４２０１３年８月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ａｕｇ．２０１３文章编号：０４２７－７１０４（２０１３）０４－０５４７－１１有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用谢锡麟，陈瑜，史倩（复旦大学力学与工程科学系，上海２００４３３）摘要：概要性地叙述了作者新近提出的“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”、“几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论”，前者针对介质几何形态为Ｅｕｃｌｉｄ流形（体积形态），后者针对Ｒｉｅｍａｎｎ流

2、形（曲面形态）．类比于一般有限变形理论，上述理论均包括物理及参数构型构造，变形梯度定义及其基本性质，变形刻画，输运定理以及守恒律方程．基于上述理论提出对应曲线坐标系显含时间的流函数涡量解法，固定曲面上二维不可压缩流动的流函数涡量解法以及海面油污扩散控制方程，并给出了相关数值研究结果．关键词：有限变形理论；流函数涡量解法；曲线坐标系显含时间；固定曲面上二维流动；可变形边界钝体绕流；海面油污扩散中图分类号：Ｏ３３；Ｏ３５文献标志码：Ａ１当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论１．１研究背景众所周知，当代飞机最为基础的飞行原理是按动量定理

3、通过发动机提供向前推力，从而按Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ定理由机翼产生升力———利用了流体力学中最为基础的规律．然而，自然界中各种各样的鱼儿游动与鸟儿飞翔却没有“自身携带的发动机”，它们的自由运动往往仅依赖于躯体的摆动或者翅膀的挥舞———利用边界的有限变形运动同周围流场间的相互作用而获得所需的各种动力．然而，至今我们对此方面的机制仍知［１－４］之甚少，我们当前所发展的航空和航海器的效率也远未及鱼儿与鸟儿．随着现代航空航海业的深度发展，国内外流体力学界开始广泛关注边界的有限变形运动同周围流场［３，５，６］间的相互作用．ＷｕＣＪ等（２００９，２０１０）主

4、要基于ＣＦＤ（ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＦｌｕｉｄＤｙｎａｍｉｃｓ，计算流体动力学）以及控制理论等研究３Ｄ（三维）仿生鱼及鱼群的游动规律，发现类金枪鱼躯体上的旋涡脱落可同尾鳍摆动造成的同向旋涡发生归并从而提供鱼的推进力；基于其所发展的实时控制理论，通过数值研究发现经实时优化的二维仿生鱼的形态可显著提高鱼的推进力，流场反映为反向Ｋａｒｍａｎ涡街的增强．ＤｏｎｇＧＪ［７］等（２００７）研究了并列二维仿生鱼做同相位及反相位流向行波型运动对推进力等水动力学行为的影响，发现了涡对涡街、单涡街和同相位及反相位同步涡街等４种大尺度旋涡结构．类似结构也在经典

5、并列双圆［８］［９］［１０］柱绕流以及横向振动单圆柱绕流中发现．ＤｕＧ等（２００８）三维研究发现昆虫翅膀的可变形拍动（弯［１１］拱及扭转，真实情况如此）较之刚性翅膀拍动可显著提高各项气动性能．ＬｕＸＹ等（２００５）研究了壁面可作流向行波运动的二维槽道流动，以模拟鱼游动时背脊的波动，发现优化的行波运动可以有效抑制分［１２］离、提高推进及减小输入．ＷｕＣＪ等（２００３）研究二维机翼上表面的流向行波运动对流动的影响，基于旋涡的空间特征提出“流动滚柱轴承”（ｆｌｕｉｄｒｏｌｌｅｒｂｅａｒｉｎｇ）的概念，发现适当的表面行波运动可有效抑制［１３］分离，显

6、著提高机翼的空气动力性能．ＷｕＣＪ等（２００７）进一步研究了二维圆柱后半部表面引入行波运收稿日期：２０１３－０５－０８基金项目：国家自然科学基金面上项目（１１１７２０６９）资助；上海市教委２０１１年上海高等本科重点教学改革项目“‘现代连续介质力学理论及实践’课程体系”作者简介：谢锡麟（１９７４—），男，副教授，博士，Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉｅｘｉｌｉｎ＠ｆｕｄａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ．５４８复旦学报（自然科学版）第５２卷动的作用，发现适当的壁面行波运动可抑制Ｋａｒｍａｎ涡街的形成，大幅度降低阻力．综上所述，绕流体边界的形态及其有限变形运动能够显著地改变流

7、场中的主导旋涡结构及其空间演化特性，从而大幅度地改变绕流体的气动或水动性能，甚至边界变形运动同流场的相互作用可直接提供动力等．对此方面机制的研究与掌握必然对现代航空航海业具有极其重要的意义，故引起业界的广泛关注．１．２映照及张量分析观点如图１所示，当研究可变形机翼的绕流时，我们可引入以下显含时间的曲线坐标系：１Ｘ＝（ｒ（η，ζ，ｔ）＋ξ·（Ｒ（η，ζ）－ｒ（η，ζ，ｔ）））·ｃｏｓη，烄２烅Ｘ＝ζ，３烆Ｘ＝（ｒ（η，ζ，ｔ）＋ξ·（Ｒ（η，ζ）－ｒ（η，ζ，ｔ）））·ｓｉｎη．此处（η，ζ）为刻画机翼表面（曲面）的双参数；ｒ（η，ζ，ｔ）和Ｒ

8、（η，ζ）分别刻画机翼表面以及流场外界面，二者之间所围区域可定义为所需数值模拟的物理流场．利用上述曲线坐标系，物理流场所对应的参数区域为相对于时间固定的方块．图１适