两个不完备赋范空间上的一些结论.pdf

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1、第28卷第6期(上)赤峰学院学报(自然科学版)V0I．28No．62012年6月JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)Jun．2012两个不完备赋范空间上的一些结论牛潇萌(赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000)摘要：本文给出了两个不完备的赋范空间，并证明了一致有界原理，闭图象定理和开映射原理都不能扩展到不完备的赋范空间上去．关键词：赋范空间；不完备；范数中图分类号：0177文献标识码：A文章编号：1673—260X(2012)06—0006—021两个不完备的赋范空间取xo=(

2、1，下11⋯_ll⋯)，INNlim_l：0，了，，，所以x0CO．由jnn—∞n定理1设x是有限非零序列x=佳I【)的全体按坐标定于x：在c。中稠密，所以存~(xaCX：，使得IIx．-xoll一0(n一义线性运算构成的向量空问．用I表示l范数，I1．1l表示)．(xn)是x的Cauchy列．但是(xn)不收敛于x中任何一点1范数．记赋范空间。(，I1．II)=-X，赋范空间，I)-X则从而得出X：是不完备的X。，X：是不完备的赋范空间本文所提到的赋范空间X和x，均指的是定理1中所证明任取x=(∈，§：，⋯，∈∥．．)∈1，，则妻l∈l<十．对

3、每一定义的xl和x2‘个自然数，令：(∈。，§：，⋯，∈，0⋯)，则∈x，且由于妻2一致有界原理不能扩展到不完备的赋范空间上去∈【<+。。，所以当1÷13~,IIx-x．1l1=妻．这表明x。在l-定理2对xl中每一个元素({l

4、1)和每一个正整数m，令中稠密()=m·a，则集族{fm：m∈N}是X．到F的有界线性泛函族，取(1，，}⋯，，⋯)，N5YvJ~1<+。。，所以)(0∈且对xl中每一个元素‘'sup‘‘l：m∈N’是有限的饵l．由于x在l中稠密，所以存在(xJCX，使得llx~-xol一O是sup{llf,dl：m∈N}不是有限的(n

5、一．因此，(x

6、1)是x．的Cauchy列．但是㈥不收敛于x。中证明任取(a，(bn)∈x，o【∈F，每一个正整数m，有任何一点，从而得出x。是不完备的fm((aI1)+(bfI))=fm((+b=m。(an1+b任取x=(∈C。，~1]lira∈=0．对于每一个自然数n，令x==m·巩n+m．blTl=fm(㈤)+fm((brI))n—+∞(《。，∈：，⋯，《，O⋯)，则X∈x：．由于lim《=0，所以当n一∞时，fm((a=fm(·aa)=m·(·anO=O~．·(m·=fm((an))n—÷∞x—x=supI∈I-+0．这表明X：在c。中稠

7、密所以fm是线性泛函k)n—．6——对每一个正整数m，任取x。中元素㈥，则存在N，当x一y=l一b)n>N时，aTI=0．=max{lacn]。I，Ib：l，⋯，l：I)il-mf≤m(1毫)：mIJ㈥IIl(为有限数)，所以对于每一个自然数，有IIx．-yll~~IIx．-yll1．这样，当所以cn是有界的n一。。时，由IIx．-yll。一0，可以得到llxn—y一0．又因为这样，集族{fm：m∈N}是x。到F的有界线性泛函族．IIxl广xI1一0(n一)，故Ix=x=y．因此I是闭算子·易知I线性算对于每一个(∈x。，则存在N，当>N时，-0

8、．子，所以I是闭线性算子supIlfm(()忙supmla．1=max{Ia。I，21，⋯，NIal1是有限数．下面证明I是无界的·m∈Nm∈N对每一个正整数m，由于任取(al1)∈x。有Ifm((an))I≤取A=【xfI=(1，2，⋯，1，0，⋯)：xn∈x：}’则对于每一个自然数mll((a．))l。，所以有Ilfmll<~m．n，IIX．II：1．所以A是X2中有界集，但是II)【III1=IxIl=∑k=1xo=(o，⋯，O，l，0，⋯)EXl,第m个坐标为1其余为0的：1+1+．．．+1：n_+∞．这表明I(A)~EX：中无界．所以I

9、是无界元素·显然l1)(0lI-=1，则lfm(l_mIalnl=m，于是m：Ifm()≤的．从而得出当x，x：不完备时，闭图象定理不成立．。Ifmlllx011=“fmI}，故对每一个自然数m，Ifmlm·所以4开映射定理不能扩展到不完备的赋范空间上去supm+∞·从而得出当X-不完备时，一致有界原理不成立·定理4I是从X。到Xz的恒等算子，则I是有界线性3闭图象定理不能扩展到不完备的赋范空间上去算子，但是I不是开的定理3I是从X2到X。上的恒等算子，则I是闭线性证明任取(∈x，则存在N，当n>N时，0I(a．)ll=1㈥=max{la。l，⋯

10、，laNl}≤la一+lat=ii(~u．易知算子，但是I不是有界的．证明首先证明I是闭算子I是线性的，所以I是有界线性算子对任意的(】