固态电子2010-第四章.ppt

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1、第四章晶格振动晶体中各原子在一定温度T下，都在各自的平衡位置附近作振动——我们称为晶格振动，它同样会影响晶体的性质如比热、热导等，也与晶体对光的散射有很大关联。本章的中心内容是采用最近邻原子简谐近似的方法来研究晶格振动的问题，用格波来描述这种晶体原子的集体运动，并由一维振动得出的结论推广到三维振动，最后从量子理论的角度用声子这个概念来表述格波对应能量。§4.1一维单原子链的振动一、晶格振动——格波模型建立：一维单原子链含N个原子，每个原子都具有相同的质量m，平衡时原子间距——晶格常数a。研究思路：把原子的振动看作是简协振动，先计算原子之间

2、的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程，最后求解方程。步骤：⒈求出原子间的作用力；⒉列出原子振动的微分方程；⒊求出方程的解。图4.1一维单原子链模型二、格波的意义晶体中的格波与连续介质波具有完全相同的形式。一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动，在简谐近似下，格波是简谐平面波。图中的向上的箭头代表原子沿X轴向右振动，向下的箭头代表原子沿X轴向左振动。箭头的长度代表原子离开平衡位置位移的大小。图4.2格波的意义三、格波波矢的取值和布里渊区当相邻原子的位相差时，所有原子的振动没有任何改变。因此只要研究清楚波矢在第一布里渊

3、区的晶格振动问题就可以，其它区域不能提供新的物理信息。图4.3原子振动相同的两种格波四、玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件以上的讨论是将一维单原子晶格看作无限长来处理的，这样所有原子的位置是等价的，每个原子的振动形式都一样。实际的晶体都为有限的，形成的链不是无穷长，这样链两头的原子就不能用中间原子的运动方程来描述。玻恩－卡门（Born-Karman）提出采用周期性条件可解决上述困难。如图4.4所示。图4.4一维无限长链由N个原子头尾相接形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，而且N很大，其中的原子运动近似为直线运动。第n

4、个原子和第N+n个原子应该为同一原子，他们的位移也应该相同。波矢q应该满足的条件为：在第一BZ中，h只能取N个整数值,波矢q也只能取N个不同的分立值,所以在第一布里渊区包含N个状态。图4.5一维无限长原子链五、色散关系⑴频率ω的范围频率是波数的偶函数，如图4.6。色散关系曲线是周期性的在q空间的周期为：2π/a频率的极小值为：ωmin=0;频率的极大值为：图4.6一维单原子链的色散关系⑵长波近似和短波近似长波近似：当q→0，即波长λ>>a时，色散关系如图4.7中蓝线所示。在长波极限下一维单原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色散关系

5、一致，因此在长波极限下，对于一维单原子晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续介质。图4.7一维单原子链长波近似下的色散关系返回长波极限下，相邻两个原子之间振动的位相差qa→0，此时λ→∞，一个波长内包含所有原子，晶格可以看作是连续介质，如图4.8(a)所示。短波近似：当q→π/a时，ω取极大值。格波的波长λ=2a，相邻原子的振动位相相反，如图4.8(b)所示。(b)图4.8长波极限和短波极限下的格波示意图⑶色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性格波频率ω是波矢q的周期函数，周期为（2π/a），正好为一维原子链的最短倒格矢，即ω(q)

6、=ω(q+Kh)，称为倒格子平移对称性，其中Kh为倒格矢。ω(q)=ω（－q）－―倒格子反演对称性。关于色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的这两个结论对三维晶格也是适用的。结论：对含N个原子的一维单原子晶体（即一维简单晶格）⒈可用格波来描述晶格的振动；⒉格波的波矢q在第一布里渊区内取N个不同的分立值，每个q值对应一个ω,一组（ω，q）对应一个格波，则晶格的振动可用N个独立的格波（即N个独立的简正模式）来描述；⒊这N个格波的频率ω与波矢q的关系由同一条色散曲线所概括，即这N个格波属于同一种格波；⒋晶格中每一个原子都参与了这N个独立的简谐

7、振动，任何一个原子的实际振动是这N个格波所描述的简谐振动的线性叠加。§4.2一维双原子链的振动一、一维双原子链的振动一维无限长复式格子的振动选取这样的模型：原胞含两种原子m、M（M>m），相邻同种原子间的距离为2a（即为晶格常数）。如图4.9所示，质量为M的原子位于2n-1，2n+1……质量为m的原子位于2n，2n+2……图4.9一维双原子链模型牛顿运动方程：方程解的形式：因为M>m，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的，即A和B一般不同。整理后得到ω与q的关系：由关系式可以看出，ω与q之间存在着两种不同的色散关系，我们称一维双原

8、子晶体中可以存在两种独立的格波。返回二、波矢的取值相邻原胞之间的位相差为2aq=2aq+2π时，所有原子的振动不变。为了保证波函数的单值性，一维复式格子q的值限制在：-π<2aq≤π，则对含N