基于细胞稀疏存贮方案的有限元刚度矩阵组装

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1、http://www.paper.edu.cn1基于细胞稀疏存贮方案的有限元刚度矩阵组装11陈璞，陈斌1北京大学力学与工程科学系，北京(100871)E-mail：chenpu@pku.edu.cn摘要：在现代有限元分析的直接解法和迭代解法中都需要组装刚度矩阵。本文在[1,2]的基础上，叙述了两种基于细胞稀疏存贮方案有限元的符号刚度矩阵的组装方法。在与传统的方法进行了比较的基础上，提出了改进效率的方法。关键词：有限元分析稀疏矩阵高性能计算中图分类号：O241.821．引言近年来，稀疏解法逐渐替代了带宽解法与变带宽解法，成为了有限元分析中首选的直接[1,2,3]解法。不同于带

2、宽解法或变带宽解存贮方案，稀疏解法要求建立符号矩阵(symbolicmatrix)，它是总体刚度矩阵对应的Bool值矩阵。刚度矩阵中的非零元在Bool值矩阵为1，其余则为0。在用图讨论矩阵运算时符号矩阵又称为邻接图(adjacentgraph)。在稀疏解法中符号矩阵涉及几乎所有的步骤，如：符号组装；填充元优化；符号分解；（数值）刚度矩阵的组装；数值分解；消元与回带等。因此，减小符号矩阵的大小在稀疏解法中具有十分重要的意义。[5]传统的稀疏符号矩阵的组装方法直接采用了基于方程的数据结构，符号矩阵占用的内存为数值刚度矩阵占用内存的1/2（4字节整数，8字节实数）。对于给定的单元

3、类型，符号矩阵的大小一般正比于节点数。如果分析的问题不太大，符号矩阵可以整个在内存中处理。但模型较大时有限元的符号矩阵的可能超出内存允许的范围。于是就出现了各种符号矩阵的压缩存贮方法，其中最著名的是文献[6]的方法。在工程有限元分析中，因为求解位移向量场的需要，总体刚度矩阵是由一系列小的子矩阵组成。利用这一性质，文[1,2]给出了一个称为[6]细胞稀疏存贮方案的符号矩阵压缩方法，其压缩比大于Sherman的方法。本文从两个方面改进符号矩阵的组装方法：1）利用文[1,2]的超方程和细胞符号矩阵概念直接组装细胞符号矩阵。在工程有限元分析中，它的大小仅是传统符号矩阵的1/36到1

4、/9；2）给出了两种不同的组装方案。它们分别适用于不同的内存数据安排。数值试验表明，本文提出的方法可以在仅有28M内存的情形下在内存快速地组装100万阶3维8节点实体有限元方程组的符号矩阵。2．稀疏矩阵的存贮方案为了更清楚地讨论问题，取一个6阶的总体刚度矩阵如下:1高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20030001112)-1-http://www.paper.edu.cn⎡11abc⎤⎡(11)(ab)()c⎤⎢⎥⎢⎥22d(22)()d⎢⎥⎢⎥⎢33ef⎥⎢⎛⎞33ef⎛⎞⎥A=⎢⎥=⎢⎜⎟⎜⎟⎥(1)⎢44g⎥⎢⎝⎠44⎝g⎠⎥⎢SYM55h⎥⎢SYM(55)(

5、)h⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣66⎥⎦⎢⎣(66)⎥⎦其中a，b，…，h是非零实数。由于对称性，有限元刚度矩阵采用了上三角行存贮方法（或等价地，下三角列存贮方法）。为了有效地对行实施运算，在有限元分析的计算中矩阵A较常用的稀疏存贮方案是紧凑行向量的顺序组合表示法（又称为带辅助行向量的二元组表示法）。这种表示法需要3个数组IA(1:neq)，JA(1:nzr)和PA(1:nzr)来表示矩阵A的上三[4,5]角部分，其中neq和nzr分别是线性方程组的阶数和是非零元的个数。以4字节整数和8字节实数计，这种存贮方案占用的内存为(neq+nzr)*4+nzr*8字节。表1紧凑行向量的顺序组合表

6、示法方程号123456IA469111314JA13462534545566PA11abc22d33ef44g55h66数组IA(1:neq=6)是行索引，它记录了每一紧湊行向量在非零元的列指标数组JA(1:nzr=14)以及它的数值数组PA(1:nzr=14)中的末地址。第k行的非零元个数为IA(k)-IA(k-1)（假设IA(0)=0）。文[1,2]提出了一种细胞存贮方案。它的想法是将刚度矩阵中具有相同的非零元位置的行（列）所对应的方程定义为超方程，与超方程划分相应的子矩阵为细胞。式(1)中A的第2个表达式就是按细胞方式写的。显然，符号矩阵可以在细胞意义表达，在给定超方

7、程划分的意义下，它与原始的表达是完全等价的。在这一表示法之下，有限元的总体刚度矩阵被视作超行向量的顺序组合。根据超方程的定义，式(1)中有5个超方程。记mneq为超方程数，在超行紧凑方式下，式(1)中的第2个矩阵可以用5个数组来描述。表2紧凑行向量的细胞稀疏存贮方案超方程12345SUPER12456ISA357910JSA1352434566LSA46111314⎛33e⎞⎛f⎞PSA11()abc22d⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟55h66⎝44⎠⎝g⎠数组SUPER(1:mneq=5)是超方程编号到原方程编号的映射。数组