gct 微积分2012串讲(带答案解析)

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1、微积分CreatedbyHuzhiming第1页共40页第四部分一元函数微积分【考试情况总结】一元微积分共52题•一、函数（3道）•1.定义域（1道）2.函数求值（2道）•二、极限（5道）•三、连续（1道）•四、导数与微分（10道）•1．导数与微分的概念（6道）2．导数与微分的运算（4道）•五、导数的应用（14道）•1．中值定理（2道）•2．单调性与凹凸性、极值点与拐点（4道）•3．不等式问题（1道）4．最值问题（3道）•5．方程根的问题（3道）6．渐近线问题（1道）•六、不定积分（1道）•七、定积分（18道）•1．概念与性质（几何意义）（6道）2．定积分运算（9道）3．

2、定积分应用（3道）第1章函数极限连续[内容综述]1．函数函数概念、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、有界性）、分1微积分CreatedbyHuzhiming第2页共40页段函数、隐函数、反函数、复合函数、基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）、初等函数．2．极限极限的概念、极限的性质（极限的唯一性、函数的局部有界性、极限的保序性）、极限的四则运算与复合函数的极限、两个重要极限sinx1x（lim1lim(1)e）、无穷小量的概念与性质（与有界xx0xx变量的乘积仍是无穷小量、无穷大量与无穷小量的关系等）、无穷小量的比较（高阶

3、无穷小、同阶无穷小、等价无穷小）与等价无穷小代换．3．连续连续概念、左右连续与连续的关系、间断点及其分类(第一类：左、右极限都存在的间断点，包括可去型与跳跃型两种；第二类：左、右极限中至少有一个不存在的间断点）、连续函数的四则运算、反函数的连续性与复合函数的连续性、初等函数的连续性（初等函数在其定义域区间上连续）、闭区间上连续函数的性质（有界性；最大、最小值定理；零点存在定理；介值定理）．[常见问题]1．函数问题1：求函数定义域的问题；问题2：讨论函数简单性质的问题（单调性、奇偶性、周期性）；问题3：求函数值或求函数表达式的问题．2．极限问题1：讨论极限存在性的问题；2微

4、积分CreatedbyHuzhiming第3页共40页问题2：利用极限性质（保序性）处理的问题；问题3：利用重要极限求极限的问题；问题4：利用无穷小的比较（等价无穷小）处理的问题．3．连续问题1：讨论函数在一点连续性的问题；问题2：找出函数间断点并对其分类的问题；问题3：利用连续函数性质（最值存在性、介值存在定理、零点存在定理）处理的问题．[典型例题]一、极限问题例1．（2007）lim()fx4，则必定(C)x1A．f(1)4B．fx()在x1处无定义C．在x1某邻域(x1)，fx()2D．在x1某邻域(x1)，fx()4分析：考查极限概念及其基本性

5、质．根据极限定义，lim()fx4存x1在不要求函数fx()在点x1有定义,因此A,B都不一定成立；根0据极限定义可知，若有lim()fx4,则对任意的正数,在x1某x1邻域(x1)内，恒有4fx()4,今取2即可，因此C成立,由此亦可知D不成立．π(x1)例2．（2009．17）lim（）．x1sinπxA．πB．1C．0D．1【分析】本题是微积分中极限部分的极限运算问题，既可以利用罗比3微积分CreatedbyHuzhiming第4页共40页达法则求值，也可以利用重要极限求值．π(x1)π1limlim1；xx1

6、1sinπxxπcosπcosππ(x1)πtπt或limlimlim1．x1sinπxt0sinπ(t1)t0sinπt正确选项为B．xxa例3．设lim2，则ab,满足（）．xxbA．ab2B．2abababC．ee2D．ee2答：D．分析：本题主要考查了重要极限与常用的简单代数变形方法．根据题意，abxxbxbxxaababablimlim1e2，xxxbxbab即ee2．故正确选项为D．12,0x1,1xx21例4

7、．已知函数fx()若极限lim()fxlnxx1ax,1,x1存在，则a等于（）．4微积分CreatedbyHuzhiming第5页共40页3113A．B．C．D．2222答：A．分析：本题主要考查了极限与左、右极限的关系和极限的简单运算．由于121x11limfx()limlimlim22x1x11xxxx11x1x112，ln[1(x1)]limfx()lima1a，xx11x113所以1a，故a．即正确