金融工程学偏微分方程与有限差分方法

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1、王安兴上海财经大学金融学院电话:021-65903708传真:021-65650382电邮:awang@mail.shufe.edu.cn金融工程学教材：王安兴，金融工程学，上海财经大学出版社，2006年3月参考教材：JohnC.Hull,Options,Futures,andOtherDerivatives,6thEdition.偏微分方程与有限差分方法1.偏微分方程引言和分类2.有限差分方法数值解3.显性和隐性有限差分方法4.有限差分方法估价欧式期权5.有限差分方法估价奇异期权和美式期权1.偏微分方程引

2、言和分类①线性二阶方程222∂∂∂∂∂φφφφφaxy(,)+bxy(,)+++++cxy(,)dxy(,)exy(,)fxy(,)φgxy(,)0=22∂∂xx∂∂∂∂yyxy2②方程类型ba−40c>2ba−40c=A.双曲性方程2B.抛物性方程ba−40c

3、+−2fxfxh()()2'2fxhfxh()()+−−f′′()xO=+()hf()xO=+()hh22h②平面设定离散网格φ=φδδ(,)ixjy(,)ixjyδδij,③边界点在网格选择④不宜采用有限差分方法的例子⑤有限差分方法的不稳定性3.显性和隐性有限差分方法①考虑如下方程2∂φ∂φ=2∂tx∂②显性有限差分方法求解φ−φφφφ−+2ij,1++ij,i1,jij,i−1,j=(12),22φij,1+−=ρφi1,j+−ρφij,+ρφi+1,jρ=δδtx/()δδtx()③隐性有限差分方法求

4、解2φij,,−φφφφij−+11i,,1j−+2iji−,j−+ρφi−+1,j(12)+−==ρφij,ρφi1,jφij,−1,ρδtx/(δ)=2δδtx()④Crank-Nicolson方法求解−+ρφρ2(1+−=+)φρφρφρ2(1−+)φρφij−+1,1ij,+1ij+−1,1ij−1,ij,ij+1,222∂∂φφ(,xtx)=+1⎢⎥⎡⎤(,)t∂φ(,)xt+O()x2∂φφ(,)(,)xtij+1−φxtij2δ22ij++1/2ij12ij(,xtO)=+()δt∂∂xx2⎣

5、⎦∂x∂xtij+1/2δ⑤收敛性、一致性和稳定性4.有限差分方法估价欧式期权①Black-Scholes方程2∂∂ff122∂f+rS+=σSrf2∂∂tS2∂S②偏微分方程离散化A.网格节点tttN=0,δ,2,δδ?,t=Tf=fitjS(,)δδij,SSSM==0,δδ,2,?,δSSmaxB.边界条件f(,)maxTS={SX−∀,0,}Sf(,)maxTS=−{XS,0,}∀S③显性方法估价欧式期权***fa=++=fbfcfi,0,1,??,Nj−1,=−1,2,M1ij−−1,jij,1j

6、ij,jij,+1④完全隐含方法估价欧式期权af+bf+=cffjij,1−+jij,jij,1i+1,j5.有限差分方法估价奇异期权和美式期权①用Crank-Nicolson方法估价障碍期权②估价美式期权