凸合作对策核心的一扩展性质

《凸合作对策核心的一扩展性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第23卷第3期石家庄铁道大学学报(自然科学版)v。1．23N。．32010年9月J0URNALOFSHIJIAZHUANGTIEDAOUNIVERSITY(NATURALSCIENCE)Sep．2010凸合作对策核心的一扩展性质刘微，李靖，封梅(1．河北化工医药职业技术学院基础部，河北石家庄050026；2．石家庄铁路职业技术学院信息工程系，河北石家庄050041)摘要：以超微分同性质凹函数及支撑函数作为性质的扩展载体，将凸合作对策的性质与其经典解核心联系起来，从而得到凸合作对策非空核心的一扩展性质，即其核心满足Minkowski和与Mink

2、owski差。关键词：合作对策；核心；Minkowski和；支撑函数中图分类号：0225文献标识码：A文章编号：2095-0373(2010)03—0041—03人合作对策(Tu对策)的核心是所有可行支付的集合，局中人的任何联盟都不能对其支付进行改善。它是一紧密的多面体结构，但可能是空集。本文则针对核心这一特点，将超微分同性质凹函数及支撑函数作为性质的扩展载体，从而得到凸合作对策核心的一扩展性质，即具有非空核心的凸合作对策其核心满足Minkowski和与Minkowski差。1预备定义设：2一R是Tu对策，满足()=0，N={1，2，⋯，凡}

3、是局中人集合，(S)是联盟5的赢得，c()表示对策的核心即c()=<∈(R)I(N)=(N)，(S)≥(S)，SC～>。设是有限维向量空间，是其对偶空问，可以定义集合上的子集运算h。定义1设集合A，B∈h，定义oB=<0+bl0∈A，B∈>为Minkowski和，AoB=为Minkowski差。Minkowski和与Minkowski差满足和与差的性质。定义2设是中的非空紧集，是其对偶空间，若函数(A；·)满足(；p)=infp(x)(P∈)则(A；·)是的支撑函数¨。支撑函数满足如下的性质：(1)(aA；·)=(A；·

4、)，(>0)；(2)(A①B；·)=(A；·)+(B；·)；(3)ABj(A；·)≤(B；·)，对于凸集B满足A]铮(A；·)≤(B；·)。定义3设／：一尺是中的支撑函数，若a(=<∈Vl(p)≥P)，Vp∈V>是凸集，．~lJf为超微分同性质凹函数。和a是对偶运算。性质1设是超微分同性质凹函数，若_厂具有对偶性，则有(1)若-厂是上超微分的同性质凹函数，那么有a(≠·)=(a(-厂)；·)；(2)若A是的非空紧集，那么有a((A；·))=A。收稿日期：2009—12—14作者简介：刘微女1980年出生讲师基金项目：lIj_EL省自然科学基金

5、资助项目(A2005000301)42石家庄铁道大学学报(自然科学版)第23卷2凸合作对策核心的性质为了得到超微分同性质凹函数的核心，用恰当的方法将对策延续成R上的函数，该延续可以把尺分解成为锥体，这些锥体是由联盟链构成的。设联盟为一递减序列W={S。]⋯3S}，称为链。con(W)=<．1slOLo∈R，OL≥0，i=1，2，⋯，>称为圆锥链。●空间等价于由所有圆锥链组成，设PcR，P为Ⅳ上的函数，并设Co，P=Co1+∑(—一)1s∈c0凡()。k定义对策在尺上的延续函数，即(P)：Co1+

6、∑(——t)()。对于每一个con()中的锥体，是一线性函数。引理1设是Tu对策，是在R上的延续，那么有c()=a()。证明c()3a()满足事实，即在c(v)中定义任何线性不等式，从而得到d()的线性不等式。反过来设cc()，在定义的a()中考虑不等式(P)≥(P)，即P属于圆锥链COlt(W)。在这个圆锥中，函数和是线性的，不等式在母点1，1Si成立，等式在一1成立，故不等式在P点仍然成立。证毕。定理1设和是同性质的凹函数，那么有(1)a(Vl+2)=a(1)①a(2)；(2)a(l一2)=0(1)oa(2)。证明(1)见Moreau—R

7、ockafellar法则。(2)因．和是凹函数，从而对于非空紧集A和B有．=(A)，：(B)。故a(一：)=0(()一(B))=AoB。由对偶性质A=a(())=a(1)，B=0((B))=0(：)。从而得a(一2)=a(1)∈三)a(2)。证毕。推论1若A，B，C为凸合作对策的子集，则满足下面的性质A=(AoC)oC，(A①C)o(④C)=AoB。3凸合作对策核心的一扩展性质性质2若是凹函数，那么对策则是凸对策。这样的对策是凸对策，不是凹对策，见Shapley(1971)定义。例1考虑3个对策，V(S)=I5l一1，若S≠这时有如下描述：设

8、=对策的核心是一三角形C()=<(1，2，3)Il+2+3=2，0≤≤1>。对策，是简单对策，故其核心是简单核心。即c({l，2．3f)=<(1，2，3)l1+2+