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1、向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行③单位向量:模为1个单位长度的向量④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量2、向量加法:设,则+==(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;,但这时必须“首尾相连”.3、向量的减法:①相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量②向量减法:向量加上的相反向量叫做
2、与的差。③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)4、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:(Ⅰ);(Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=6、平面向量基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示分别为与轴,轴正方向相同的单位
3、向量1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。2平面向量的坐标运算:(1)若,则(2)若,则(3)若=(x,y),则=(x,y)(4)若,则(4)若,则,若,则三.平面向量的数量积61两个向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积(或内积)规定2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义:·等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:5乘法公式成立:;6平面向量数量积的运算律:①交换
4、律成立:②对实数的结合律成立:③分配律成立:特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量,则·=8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=,=,则∠AOB=()叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥10两个非零向量垂直的充要条件:⊥·=O平面向量数量积的性质11、向量的三角不等关系注意
5、取等条件(共线)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)61.已知两点,,,则P点坐标是()A.B.C.D.2.下列向量中,与向量平行的向量是()A.B.C.D.3.a,b,则向量a在向量b方向上的投影长度为()A.B.C.D.4.在三角形ABC中,C=450,a=5,b=4,则()A.10B.20C.D.-205.已知的夹角为钝角,则的范围是()A.B.C.D.6.一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物,太阳光从头上直射下来,鹰在地面上影子的速度为40m/s,则鹰飞行的速度为()A.20m
6、/sB.m/sC.20m/sD.80m/s7.O为平面中一定点,动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足()·()=0,则点P的轨迹一定过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心8.已知,C为上距A较近的一个三等分点,D为上据C较近的一个三等分点,用表示OD的表达式为()A.B.C.D.9.已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P,且,则点P与的位置关系是()A.P在内部B.P在外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上或其延长线上10.若i=(1,0),j=(0,1),则与2i+3j垂直的向
7、量是()A.3i+2jB.-2i+3jC.-3i+2jD.2i-3j11.对于菱形ABCD,给出下列各式:①;②;③;④26其中正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个12.在平面直角坐标系中,已知两点A(cos80o,sin80o),B(cos20o,sin20o),则|AB|的值是( )A. B. C. D.1二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC的形状是. 14.已知实数x,y,向量不共线,若(x+y-1)+(x-y)=,则x=,y=15
8、.若三点共线,则x=16.在中,有命题:①;②0;③若,则为等腰三角形;④若,则为锐角三角形.其中正确的命题序号是.(把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题17.(满分12分)设两个非零向量和不共线.(1)如果,若A、B、D三点共线,求k的值.(2)若=2,=3,与的夹角为,是否存在实数,使得与垂直?并说明理由.18.(12分)已知向量;求(1)的值;(2)与的夹角的正弦值.19.(本小题满分12分)在设,,求