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1、第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判
2、断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。教学方法：讲授法、实践法。§3.1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义,并且在x0处可导,如果对任意有(或那么f¢(x0)=0.罗尔定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且有那么在内至少在一点x,使得简要证明:(1)如果是常函数,则定理的结论显然成立.(2)如果不是常函数,
3、则在内至少有一个最大值点或最小值点,第24页共24页不妨设有一最大值点于是,,所以罗尔定理的几何意义:在区间内至少存在一点，使得在曲线上的对应点处的切线与轴平行。二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使得等式成立.拉格朗日中值定理的几何意义:定理的证明:引进辅函数令容易验证函数适合罗尔定理的条件:在闭区间上连续在开区间内可导,且根据罗尔定理,可知在开区间内至少有一点x,使即由此得即定理证毕.叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于也成立.拉格朗日中值公式的
4、其它形式:设x为区间内一点,为这区间内的另一点(或),则在或应用拉格朗日中值公式,得如果记为y,则上式又可写为试与微分比较:是函数增量Dy的近似表达式,而第24页共24页是函数增量Dy的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用,我们证明如下定理:定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.证在区间I上任取两点应用拉格朗日中值定理,就得由假定,所以即因为x1,x2是I上任意两点,所以上面的等式表明:f(x)在I上的函数值总是相等的,这就是说,f(x)在区间I上是一个常数.例2
5、.证明当x>0时,证设显然f(x)在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有由于,,因此上式即为又由,有.三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程表示,其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x=x,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x=x处的切线的斜率为,弦AB的斜率为.于是.柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,且F¢(x)在内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点x,使等式.成立.显然,如
6、果取,那么因而柯西中值公式就可以写成:第24页共24页这样就变成了拉格朗日中值公式了.§3.3泰勒公式对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.在微分的应用中已经知道,当
7、x
8、很小时,有如下的近似等式:这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算
9、时,不能具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式.设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到阶导数,现在我们希望做的是:找出一个关于的n次多项式来近似表达f(x),要求与f(x)之差是比高阶的无穷小,并给出误差的具体表达式.我们自然希望与在x0的各阶导数(直到阶导数)相等,这样就有××××××,于是按要求有从而有第24页共24页,×××,,.于是就有泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间内具有直到(n+1)的阶导数,则当
10、x在内时,f(x)可以表示为的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:其中(x介于x0与x之间).这里多项式.称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式,公式称为f(x)按的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式其中(x介于x与x0之间).称为拉格朗日型余项.当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:(x在x0与x之间).因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果对于某个固定的n,当x在区间内变动时,总不
