重视常数“1”在解题中的作用

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1、2010年第9期中学数学研究45重视常数“1”在解题中的作用广东肇庆市广宁第一中学(526300)彭宝成在解答一些数学问题时，若能抓住常数“1”的其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理特点，突出常数“1”的地位，往往可以达到意想不到解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的效果．下面就分类举例来说明常数“1”在解题中的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等的巧妙应用，以供大家参考．式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技一“1"在对数大小比较的应用巧之中．、对数函数是一类重要的函数模型，了解对数与既然用不等式的性质证明的技巧性太强，那么“1”在简化运算中的作用是必

2、要的．其中比较两个不妨换个思路不等式的证明从初中到高中都是令对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若学生头痛的一类数学问题．不等式的证明题题型多底数不同，可运用换底公式化为同底数的对数，还要变，证明思路多样，技巧性较强，加之又没有一劳永注意底数与1的大小关系，步骤一般为：作商——逸、放之四海而皆准的程序可循，所以不等式的证明变形——判断(大于1或小于1)．是难点．攻克难点的关键是熟练掌握不等式的性质例1(1)比较log2与log23的大小；(2)若0和基本不等式，并深刻理解和领会不等式证明中的数学转化思想，如何有效提高解题教学的效率，应该>b>1，Q=÷(1g0+lgb)，R：

3、lgf)，则比较二、，值得我们这些数学教师的深思．但若能抓住常数Q与的大小．“1”的特点，往往可以达到意想不到的效果．分析：(1)当底数不同时，有时借助中间值“1”侈02(1)已知a、b、c∈R，且0+b+c=1．作为桥梁比较大小；(2)有时通过作商、变形、判断求证：0+b+c-=1ab+bc+ca；商与“1”的大小为目的．解：(1)因为log32log22(2)已知0、b、C为不等正数，且abc=1，=1，所以log32

4、式带来困难，合理应用已知“1”的条件，还原出不等式的堂兰兰=1所以R>Q．“真面目”，从而抓住实质，解决问题．(1)不等式左1g0b右两端有2次幂上的差异，为此可将已知条件升次若按固有思维习惯，把注意力集中在“不等”关为(0+b+C)=1；(2)不等式左右两端有分式与系上，即使绞尽脑汁，也一无所获，转换思维角度，充根式的差异，为此利用已知条件abc=1，将+分发挥“1”的桥梁作用，使问题得到巧妙地解决．二、“1”在不等式中的巧妙运用+变形为√+√+√，或+1+将变用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不形为6c+ca+06．等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证明：(1

5、)‘．‘a+b+C=l，．’．(a+b+C)=1．证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人口+b+c=÷[3(0+b+c)】=们掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等÷+6+C2+(n2++(6+c)+(c2+。)】变换中看到数学的本质，对他们来说更为重要的是1(2+6+C2+2口6+2bc+2c口)理解这些不等式的数学思想和背景．所以，尽力使用中学数学研究2010年第9期造条件，简单而又巧妙的解法，更让人体会到数学海：÷(n+6+c)=÷．洋中挖掘不尽的美感．即a2+bz+C2．三

6、、“1”在求值问题的关键作用求值问题的关键是找出已知式与欲求式之间的又6c+cn一÷=n6+6c⋯一告联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换欲求={一[3口6+3b。+3c口一(。+6+。)z]式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题目的．求值问题是在中学乃至高考中常见的一种题：(。b+b+。。一a2一b：一z)型，一般通过解方程(组)，利用函数性质、代人法、变换法等方法来解决，近几年悄然兴起了求值的一=一吉(2。2+2b+2c2—2a6—2bc一2类特殊题型，特别给值为“1”是函数求值的最重要=一[(。一+(6一c)+(c一

7、】0题型，这是求值问题中新崛起的一颗“明珠”，我们不妨一起来欣赏在求值问题中“1”的转换作用，其口b+bc+c口s_=1·．．-．基本思想是沟通已知式和未知式之间的联系．(2)证法一·．‘a，b，C为不等正数，且abc=1，，+Y=1例4(1)已知{+：1求xy+砌的·【z+yw：0．．++：++值．111111+一++(2)已知(一1)(+2)=aoX+a1¨+DCC口D<—一+—一十—一1O+口2⋯+口l1+a12=—1—+_1+—1—．求ao+a1+a2+⋯+a