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1、逆向思维在数学论证中的作用与培养•中学数学论文逆向思维在数学论证中的作用与培养吴水成(湖南省涟源市第一中学，湖南涟源417100)摘要：逆向思维是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分,也是进行思维训练的载体。文章阐述了逆向思维在数学教学中的作用，然后结合本人的教育教学经验,在概念的教学、公式的教学、反例的逆用及分析和解决问题中培养学生的逆向思维习惯、逆向思维的自觉性及其兴趣，最终达到提高学生的逆向思维能力和解决实际问题的综合能力。关键词：逆向思维；数学教学；能力培养中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-9
2、324(2014)18-0104-02—、前言所谓逆向思维就是在硏究问题的过程中，有意去做与习惯思维方向相反的探索。逆向思维主要表现在所学知识的逆向应用上，注重知识的逆向应用常常可使数学解题由繁变易［1］。在数学解题中,往往因习惯于〃顺推〃和正面求解,有时会使思维受阻。这时若能运用〃换个角度来看问题，倒过来思考〃的逆向思维，对解决数学问题往往能起到突破性的效果,从而创造性地发现解决问题的简捷、新颖、奇异的方法。二、逆向思维在数学教材中的体现(-)定义的逆用在数学解题中，〃定义法〃是一种比较常见的方法，而定义的逆用便于学生养成逆向思维的习
3、惯。例]设f(x)=9x-3x+l,求f-1(0)分析：对该题常规的思维方法是：先求出反函数fJ(x),再求fJ(0)的值，但是因为求反函数的过程繁杂且易产生增解，所以必然会出现诸多失误，甚至有思维受阻现象。但我们如果逆用反函数的定义及性质，令f(x)=0,解出x的值，即为f-1(0)的值，问题就迎刃而解。**1)[解:令f(x)=9»3叫：0,则9—3诃=9，所以x二今(x+1)解得：x=1,即f-1(0)=1.因此，在解决数学问题时,若能灵活运用定义的逆向思维，不仅可以省去繁杂的解题过程，而且能保证答案的正确性。(二)公式的逆用数学
4、中的许多概念、定义是双向的,我们在平时的教学中，不仅要培养学生的定性思维，而且要充分发挥逆向思维，灵活地逆用公式，解题时就能得心应手，左右逢源。如等差数列的通项公式：an=al+(n-l)d;它们的逆用形式：^-(n-Dd或张吟或g穿+1■这些逆用公式能解决nJd实际中的许多问题。(三)法则的逆用数学法则反映着一定的数学规律。其中包括数学元素间的内在联系与解决问题的方法。如〃若干个因式中，只要有一个为零，那么它们的积为零〃的反面是〃若干因式的积为零,则这些因式中至少有一个因式为零〃也成立。郦计算越戎19x10分析:本题若按常规方法：先通
5、分后相加”势必感到束手无策。若逆用减11_1:1—1法法则n口+1n（n+1）则带来很大的简便。（四）定理的逆用数学中的很多定理，它的逆命题也是成立的。在学习某些数学定理后，引导学生去探索它的逆命题，然后去判断或者论证逆命题的正确性，并且进而启发他们用这些逆定理去解决一些实际问题,能激发学生的学习兴趣。如勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么：a2+b2二c2。它的逆定理为：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2二c2,那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，它可以作为直角三角形的
6、判走依据,从而达到解决问题的目的。（五）逆向分析法分析法的实质是〃执果索因〃，要证明结论成立,只需找到使结论成立的充分条件即可。这种方法在证明题中用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的具体运用［2］。例3求证T+T<2T分析：直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。证明：因为vW+x/T和2皿都是正数，所以要证vT+vT<2V^，只需证（只需证V21<5,即只需证21<25,因为21<25成立，所以可+帀v2百成立。由于VT+T和2亏都足无理数.因此直接证明比较困难,利用分析法从结论入手,解决题目得心应手。三、数学教
7、学中逆向思维的培养在数学教学过程中z注意学生逆向思维的培养,会使学生能够更加灵活地去解决数学问题。同时，逆向思维能力的培养对于提高学生的思维能力，培养高素质人才也有着十分重要的意义。那么，在数学中应如何培养学生的逆向思维能力呢？我们可以从以下几个方面来探讨逆向思维在数学教学中的培养。(-)在概念的教学中培养逆向思维能力我们知道概念是客观事物的本质属性在人们头脑里的反映。由于数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。数学中的一切概念都是现实世界形式或数量关系这类本质属性在人们头脑里的反映。有不少教师在讲解概念时，总是直接把内容写在黑板上
8、,然后让学生去理解、记忆。这种形式不利于学生思维能力的培养。如果能从"逆向"的角度帮助学生去认识概念，去挖掘概念所包含的一切性质及隐含条件,这样能够加深对概念的理解。如在学过〃映射"的概念之后，我在课堂上引
