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1、《统计研究》1995年第6期(总第68期)对主成分分析综合评价方法若干问题的探讨白雪梅赵松山主成分,分析法在社会经济统计分析中的应用越来越广泛随之也产生了一些值得注意租。。研究的问题本文对应用主成分分析进行综合评价时遇到的若干问题进行深入讨论一、主成分分析与因子分析的联系与区别二L,相当数量的应用文章对成分分析与因子分析不加以严格区分因而对分析结果的解释。一,非常模糊我们认为主成分分析与因子分析两者之间有联系。但也存在着明显的区别,主成分从联系上看分析和因子分析都是将多个相关变量(指标)转化为少数几个不相。,关变量的一种多元统计分析方法其目的是使在高维空间中研究样本分布规律的问题通过,。、。
2、降维得到简化并尽量保留原变量的信息量两者都有消除相关降维的功能主成分分析是通过变量变换把注意力集中在具有最大变差的那些主成分上,而视变差不;因大的主成分为常数予以舍弃子分析是通过因子模型把注意力集中在少数不可观测的公共,。。因子上而舍弃掉特殊因子主成分个数与公共因子个数的选择准则通常是相同的rX,‘,,、,;主成分分析中主成分向量Y与原指标向量X的表达式为Y二L式中L二(l)而因子分析。,,￡,A=(a‘,,:.。中的因子模型为X=AF+式中F为公共因子为特殊因子)当。,,a‘,‘,。D()二o时可采用主成分法去估计A阵则=丫习,否则,对主成分分析中的主成分与因子分析中的公共因子的含义均需进
3、行明确解释会。遇到应用上的困难,虽然主成分分析法与因子分析法有着密切联系但从应用上更需关注的是它们之间的区。别.1,,主成分分析的实质是P维空间的坐标旋转并不改变样本数据结构不能作为模型来,。,因子分析的实质是P维空间到M维空间的一种映射描述需构造模型.。2主,成分的个数与原变量个数相等而公共因子的个数小于原变量的个数.3主成分分析是把主成分表示为原变量的线性组合,因子分析是把原变量表示为公共因。子和特殊因子的线性组合.,,4主成分分析由可观测的原变量X直接求得主成分Y并可逆因子分析只能通过可观测,。的原变量去估计不可观测的公共因子F不能用X表示F.5主,,。成分分析中的L阵是唯一的正交阵因
4、子分析中的A阵不唯一也不一定是正交阵.6主成;,分分析主要应用在综合评价和指标筛选上因子分析除这两个作用以外还可应。用于对样本或变量的分类47一一二、能否对主成分实施旋转,。‘主,一般情况下成分的含义是模糊的为了获得对主成分的明确解释能否象因子分析,,,那样当初始公共因子不能解释时采取最大方差的正交旋转使旋转后的公共因子有更明。确的实际意义?我们认为对主成分再实施旋转是不可行的.1.,,对于给定的评价指标向量X和样本观测数据阵X=(X,)进行主成分分析得到的主。,’,成分向量Y具有唯一性这是因为主成分分析实质是对原指标变量进行线性变换即Y=二x,。,由于L阵是唯一的正交阵所以主成分向量Y具有
5、唯一性如果对主成分实施旋转则会有:下列情况发生X一LY一LoeTY~Lr1()。,,式中e是正交阵若式(l)成立则说明L阵和主成分均不唯一(O这在理论上是无法解释。,,的由于数据阵X没变因此相关阵R也不变当然R阵的特征值和特征值对应的单位特征向,。,。量也不会变这就说明L阵具有唯一性而实施旋转必然导致L阵不唯一显然旋转应被否定.,2从主成分的儿何解释上看主成分分析法实际是对以原指标变量为坐标的坐标系进行,。:坐标旋转找出样本点分布最分散的几个相互正交的方向第l主成分Y是样本点散布最开,2::,的方向第主成分Y是第一主成分Y所生成向量空间的正交补内样本点散布最开的方尚,,,,,⋯第萝主成分Y是
6、第1第2⋯第介1主成分所生成向量空间的正交补内样本点散布最开。,。”的方向对于给定样本来讲这些散布最开的个相互正交的方向也是唯一的如果可以对,,主成分实施旋转就等于在已求得上述方向之后再进行坐标旋转结果是以夕的各分量作为,,坐标如果这些坐标对于给定样本来讲也是散布最开的相互正交方向则等价于主成分不唯,,,一这在理论上不成立如果这些坐标不是散布最开的相互正交方向则等价于不是主成。,。分果真如此也就失去了对它们进行解释的任何意义.。,3有的文章提出了实施旋转并作了理论上的论证¹我们认为这种观点和理论论证值。得商榷,,,主成分分析中Y与X的表达式具有可逆性所以X=LY若取拼个主成分则有X=(L‘,
7、,‘.Y水,*。)式中y为主成分向量Y的前。个主成分而因子分析中因子模型忽略特,‘,,‘。。‘,,:.*‘,,:.殊因子则有X=(A)F(取。个公共因子)表达式X=(L)Y与X=(A)F,,。确实有类似之处但不能以此作为理论依据认为后者可以实施旋转前者也一定可以旋转,‘,,:.‘,.l。事实上因子分析的表达式X=(A)F中的A表明指标X与公共因子F的相关程度能A阵进行旋转是因为,,。对A阵不唯一旋转后仍表明相
