高中数学选修2精品课件3.2.3 立体几何中的向量方法三).ppt

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1、ZPZ3.2.3立体几何中的向量方法（三）空间“角度”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线所成的角为,则例1解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以：所以与所成角的余弦

2、值为练习：在长方体中，①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABDCLBA2、二面角例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为注意法向量的方向

3、：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小＝〈〉2、二面角若二面角的大小为,则②法向量法例3正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A1解法一：以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中设面的一个法向量为同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)为面的法向量∴yxzCADBC1B1A1由得解得所以，可取二面角的大小等于〈〉∴∴cos〈〉=即二面角的余弦值为方向朝面外，方向朝面内，属于“

4、一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角解法二：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1，，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小在中，即E分有向线段的比为由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FEABn3.线面角设n为平面的法向量，直线AB与平面所成的角为，向量与n所成的角为，则n而利用可求，从而再求出3.线面角l设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的

5、角为(),则1、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.基础训练:600变、如果平面的一条斜线的方向向量与平面的法向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例4：N又在长方体中，例4：1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值巩固练习B1A1C1D1DCBAOM1、如果平面的一条

6、斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.2、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______.基础训练:6001350