被忽视的向量回路.pdf

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1、一26数学教学2014年第4期被忽视的向量回路430079华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心彭翕成一些资料介绍用向量解题，总强调向量法—2AB．BCCOSB：，这就是通常的余弦与坐标法之间的转化．试想一下，倘若向量没定理．在向量解题中，有时不将口．B展开，有自己的“独门武器”，总要转化成坐标，那直运算起来更简便．接学坐标法就好，何必学向量法，多此一举?一般所说的余弦定理只是针对三角形有用向量解题并不排斥和坐标法合作，但我效，而推导余弦定理的向量回路法则更基础，们接触新事物，总是想见识一下它与众不同的对所有多边形都有效．地方．就好比到了一个没去过的地方，总想去例1已知AABC

2、中AB=3，BC=4，看一下当地独特的人文景观，品尝当地出名的CA：5，求．+．+．．风味小吃一样．解法1：．+．+．：回路解题就是向量解题特有的方法．在中BC+BA2一CACA+CB。一AB学数学教学中，回路好像并没有引起足够的重22AB2+AC2一BC2AB2+BC+CA视．甚至有人会说，中学数学教材上出现过回22路两个字么?：-25．说起来，在平面几何入门时，我们就已解法2：由AB+BC+CA：0，两边平经接触到回路了．回顾三角形的定义：“由不方得+2++2．+2．在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所+2．：0，所以．+．+组成的封闭图形叫做三角形”，三角形就构AB2~BC2

3、~CA2成了一个最简单的回路，用向量来表示就是：．：一_：一25．AB+BC=AC．这说明，引入向量可以将解法2整体解决问题，相对而言，更简洁几何关系转成代数形式．很多文章都写道“向漂亮!量是联系几何和代数的天然桥梁”，但为何天例2已知四边形A日D满足：AC=然?却语焉不详．我们认为，从三角形的定义CD，AD=BC，ZACB+ZADC=180。，求就可以看出向量法有此特点．三角形是最基证：AB2=BC2+CD2+DA2．本、最重要的几何图形，构成了几何学的基础．证明：AB2=fB+CD+DA)=平面几何如此，立体几何亦如此．+。++2(Bd．+．b--A)，向量回路法常可以按部就班

4、地解题，操作只需证B．C+D．DA=0，这由条件是起来十分方便，并不是说就没有技巧了．但总显然的．的来说，它比综合法简单得多，极少的解题工具，少量的基本方法，就可以解决大量问题．相例3四边形C的边AB和D问的夹角为，证明：AD2=AB+B+D对于综合几何那么多定理，解答时又常需灵机一动地添加辅助线，无疑是大大的划算．—2(AB·BCCOSB+BC·CDCOSC+CD·向量法证明余弦定理，是回路法最初级的ABCOS1．应用．证法1：ADs=(A--~+Bd+Cf))2：AB2将B+B0=A左右两边平方，可得+BC0+CD2—2(AB．BCCOSB+BC．百+B2+2．Bd=AdS，即

5、B2+BC2DCOSC+CD．ABCOS01．2014年第4期数学教学-27基于回路法考虑，这几乎是不证自明的，下面证B．B．D<2百．B．2百．更不用画什么辅助图形．而使用余弦定理则要BC=2AB．BCCOS(180。一ABC1=2AB．先分开处理，再想办法综合．因为一般所说的BCCOSAEC=AB．BC．CE>AB．BC．CD．余弦定理，只对三角形有效．同理，BC．CD．DE<2D．D．命题证法2：如图1，AD2=AC2+CD2-2AC．得证．DCOSACD．AC2=AB2+BC2—2AB．例5(2005年全国高中数学联赛试题1空JE}CCOSB，由线段在直线G上的射影长间四点

6、、、、D满足：3，C=7，等于线段AB和在直线D上射影长的CD=11，DA=9，则A．BD的取值⋯．()和，即EC=EF+FC，即CCOSACD=(A)只有一个；(B)有二个；ABCOS0+BCCOSC，综合起来命题得证．(C)有四个；(D)有无穷多个．解：关键在于注意到3+112：130=72+92．0=f+BO+CD)2=B0+BC2+CD+2f．BC+Bd．c6+c6．1：AB2一BC2+CD2+2(Bd+AB．Bd—．—_÷———_÷——．_———_÷+BC·CD+CD·AB)：AB2一BC2+CD2+2f+百1．(Bd+cb)图1：AB2一BC2+CD2+2A．B，于是2

7、．B：AD2+BC2一AB2一CD2=例4如果、B、、、依次在半径0，．BD只有一个值为0，故选(A)．为1的半圆周上，求证：AB+BC+CD+此题的另一种表述方式是：若四边形DE2+AB．BC．CD+Bc．CD．DE<4ABD中，AC~BD，那么如果另作四边分析：解此题的关键是在“半”字上下功夫．形BCD，满足B=AB，BC=BC，正是有个“半”字，将五个点压缩得比较紧．漏D=CD，DA=DA，虽然这两个四边形了这个字，就容易举出反例．由AB+BC+的形状未必完全相