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1、资料一：导数.知识点1．导数的概念例1．已知曲线y=上的一点P(0,0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.例2．求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵y=x2,∴y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2=4x＋(x)2∴k＝.∴曲线y＝x2在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．解析：∵S=1+t+
2、t2,∴S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,∴,即,∴,即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒∴v(t)=S’＝即v(5)＝2×5＋1＝11.∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．例4．利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。解析：y=,∴=,∴=.例5．已知函数f(x)=,求函数f(x)在点x＝0处的导数解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)－f(0)=,=,==0,即f’(0)＝0.∴函数f(x)在x＝0处导数为0.例6．已知函数f(x)=,判断f(x)在x＝1处是否可导？解析：f(
3、1)=1,,,∵,∴函数y=f(x)在x＝1处不可导．例7．已知函数y＝2x3＋3，求y’.解析：∵y=2x3+3,∴y=2(x+x)3+3－(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,∴=6x2+6x·x+2(x)2,∴y’==6x2.例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．解析：∵x=1,∴y=5,P点的坐标为(1,5),利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,∴y’＝6,∴曲线在P点处的切线方程为y－5＝6(x－1)即6x－y－1＝0,又曲线在P点处法线的斜率为－，∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－(x－1)，即6y
4、＋x－31＝0.例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？解析：∵y’==,令2x＝4．∴x=2,y＝4,即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4x－5.例10．设mt≠0，f(x)在x0处可导，求下列极限值(1)；(2).解析：要将所求极限值转化为导数f’(x0)定义中的极限形式。(1)=,（其中－m·x0）(2)=.（其中）例11．设函数f(x)在x＝1处连续，且，求f’(1).解析：∵f(x)在x＝1处连续，∴f(1).而又×2=0.∴f(1)=0.∴f’(1)=（将x换成x－1）即f’(1)＝2.例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)，通过点(1，1
5、)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．解析：由y’＝=,由函数在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切,∴2a×2＋b＝1，又函数过点(1，1)，(2，－1),∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.例13．设曲线y＝sinx在点A(，)处切线倾斜角为θ，求tan(－θ)的值.解析：∵y=sinx，∴y=sin(x+x)－sinx=2cos(x+)sin,∴y’==.即y’＝(sinx)’＝cosx,令在A点处切线斜率为k=cos=,∴tanθ=,θ∈(0,π),∴tan(－θ)＝H，例14．设f(x)是定义在R上的函数，
6、且对任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)≠0，f’(0)＝1，证明：对任何x∈R，都有f(x)=f’(x)解析：由f(x1＋x0)=f(x1)f(x2)，令x1＝x2＝0得f(0)＝f(0)f(0),又f(0)≠0∴f(0)=1由f’(0)=1即,∴f’(x)＝.即f’(x)=f(x)成立．2．几种常见函数的导数例1．已知f(x)=x3，求f’(x)，f’(1)，(f(1))’，f’(0.5)解析：f(x)=x3,∴f’(x)＝3x2,f’(1)=3,f’(0.5)＝3×(0.5)2=0.75，(f(1))’=(1)’=0.说明：导函数与函数在某
7、点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．例2．已知曲线y=x2上有两点A(1,1),B(2,4)，求①割线AB的斜率；②在[1，1＋x]内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程．解析：①kAB＝＝3；②平均变化率,③y’＝2x,∴y’
8、x＝1＝2.即点A处的切线斜率为KAT＝2.④点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.说明：通过本例搞清割线斜率，
