材料力学习题解答(弯曲变形)

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1、7.2.用积分法求图示各梁的挠曲线方程、自由端的截面转角，跨度中点的挠度和最大挠度。设EI=常量。PPqBAABCCaal/2l/2(b)(c)解：(b)(1)列弯矩方程PPBAx1Cx2⎧Mx()=−Pxx∈[0,]a1111⎨⎩Mx()=−PxPxaxaa−(−)∈[,2)22222(2)挠曲线近似微分方程"⎧⎪EIv==Mx()−Px1111⎨"⎪⎩EIv=Mx()=−Px−Px(−a)22222(3)直接积分两次⎧'2PEIv=−x+C⎪⎪1121⎨⎪EIv'2=−PPx−()x−a2+C2222⎪⎩22⎧P

2、3EIv=−x+Cx+D⎪⎪116111⎨⎪EIv=−PPx33−()x−a+Cx+D222222⎪⎩66(4)确定积分常数边界条件：'xavv=2:==0,0222光滑连续条件：''xxavvvv====:,121212求解得积分常数5273C=C=PaD=D=−Pa121222梁的挠曲线方程和转角方程是⎧'22P5EIv=−x+Pa⎪⎪1122⎨⎪EIv'2=−PPx−()x−a2+5Pa2222⎪⎩222⎧P32573EIv=−x+Pax−Pa⎪⎪116212⎨⎪EIv=−PPx33−()x−a+57Pax2−

3、Pa32222⎪⎩6622(5)自由端的转角、跨度中点的挠度和最大挠度令x1=0：3275PaP'afv==−,θ==vmax1A122EIEI令x1=a：37Pafv==−C16EI注：挠度方向向下，转角为逆时针转向。(c)(1)求约束反力并列出弯矩方程qMAABx1CRAx22ql3qlRM==AA282⎧3qlqll⎪Mx()=−+xx∈(0,]1111⎪822⎨2⎪qlx()−2lMx()=−x∈[,]l⎪222⎩22(2)挠曲线近似微分方程2⎧"3qlql⎪EIv==Mx()−+x1111⎪82⎨2⎪"ql

4、x()−2EIv==Mx()−⎪222⎩2(3)直接积分两次上海理工大学力学教研室12⎧'23qlql⎪EIv=−++xxC1111⎪84⎨3⎪'qlx()−2EIv=+C⎪22⎩62⎧3ql23ql⎪EIv=−++xxCx+D111111⎪1612⎨4⎪qlx()−2EIv=−+Cx+D⎪2222⎩24(4)确定积分常数边界条件：'xvv=0:==0,0111光滑连续条件：l''xx===:vvvv,=1212122求解得积分常数3471ql5qlCD==0C=−D=112248384梁的挠曲线方程和转角方程是2⎧

5、'23qlql⎪EIv=−x+x111⎪84⎨33⎪'qlx()−27qlEIv=−⎪2⎩6482⎧3ql23ql⎪EIv=−x+x111⎪1612⎨434⎪qlx()−271ql5qlEIv=−−x+⎪22⎩2448384(5)自由端的转角、跨度中点的挠度和最大挠度令x1=l：4341ql'7qlfv==−,θ==v−max2B2384EIE48I令x1=l/2：47qlfv==−C1192EI7.4.求图示等截面悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度和转角。求解时应注意到梁在CB段内无载荷，故CB仍为直线。上海理工大学

6、力学教研室2Pal(a)解：(1)求约束反力PMAABxCRARPMP==aAA(2)列AC段的弯矩方程MxPxPa()=−∈x(0,]a(3)挠曲线近似微分方程EIv''=Mx()=−PxPa(4)直接积分两次P2EIv'=−+xPaxC2PP32aEIv=x−+xCx+D62(5)确定积分常数边界条件：xv=0:==v'0得积分常数：CD==0(6)AC段的挠曲线方程和转角方程P2EIv'=−xPax2P32PaEIv=−xx62(7)C截面的挠度和转角令x=a：23PaPaθ=−f=−CC23EIEI(8)自由

7、端的挠度和转角梁的变形：上海理工大学力学教研室3PθCBACfθCBfBθC直线段BC段保持为直线，则2Paθθ==−BC2EI2Paff=+−=θ()la−(3la−)BCC6EI7.6.用积分法求梁的最大挠度和最大转角。P2EIEIBCAl/2l/2解：(1)求约束反力PMA2EIEIBCAx1RAx2RPMP==lAA(2)弯矩方程Mx()=Px−∈Plx(0,/2]l111Mx()=−PxPlx∈[/2,]ll222(3)挠曲线近似微分方程'2(EIv=Mx)=−PxPl1111'EIv==Mx()Px−Pl

8、2222(4)直接积分两次⎧'2P2EIv=x−+PlxC⎪⎪11121⎨⎪EIv'2=−+PxPlxC2222⎪⎩2上海理工大学力学教研室4⎧PP32l2EIv=x−++xCxD⎪⎪1116211⎨⎪EIv=−++PPx32lxCxD22222⎪⎩62(5)确定积分常数边界条件：'xvv=0:==0,0111光滑连续条件：''xxl==/2: