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1、郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）第五章解线性代数方程组的直接法数值分析§5.1引言NumericalAnalysis§5.2高斯消去法§5.3主元素高斯消去法§5.4三角分解法第五章§5.5对称正定矩阵的平方根法解线性代数方程组的直接法§5.6三对角方程组的追赶法§5.7范数与误差分析2/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.1引言§5.1引言自然科学和工程计算中的很多问题的解决常常归从微观的薛定谔方程、分子动力学方程到宏观结为求解线性方程组
2、。如三次样条插值函数问题的结构计算、工程力学中弹塑性方程、热弹性、用最小二乘远离确定拟合曲线、求解微分方程方程组，数值求解方法包括差分法及有限元方的数值解等，最终都要转化为求解线性方程组。法等。这些离散方法最终的结果是常化为线性方程组的求解。3/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis4/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.1引言§5.1引言ß快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中系数矩阵的分类的核心问题
3、，也是目前科学计算中的重大研究课题之一。第一类：低阶稠密方程组，即系数矩阵的阶数ß各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求不高，含零元素很少，在线性代数等课程学习解一个线性方程组。中通常见到的，都属这类方程组；第二类：高阶稀疏方程组，系数矩阵的阶数很高，如几百阶、甚至成千上万阶，其中零元素成片分布，数量上绝对占优。5/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis6/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis1§5.1引言§
4、5.1引言如果线性方程组的系数行列式不为零，即det()A≠0,ß线性方程组的数值解法有：直接法和迭代法。则该方程组有唯一解。由克莱姆(cramer)法则，其解为det()AV直接法：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次xi==i(1,2,",)ni运算可以求得方程组的精确解；det()A这种方法需要计算nn+1个阶行列式并作次除法，而每个nV迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格nn阶行列式计算需作(1−×)!n次乘法，计算量十分惊人。式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。35如n=×30,需2.3810次乘
5、法。可见其在理论上是绝对正确，但在较大时，在实际计算中确实不可行的。n7/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis8/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.1引言§5.2高斯消去法⎧xxx123−+=222−考虑n阶线性方程组：ß例：直接法解线性方程组⎪⎨2334xxx−−=123⎪4xxx++=63⎧axax111+122++...axb1nn=1⎩123⎪⎪axax+++...axb=解：⎨2112222nn2
6、⎡⎤1222−−⎡1222−−⎤⎪###(,)2334Ab=−−⎢⎥⎢0178−⎥⎪⎩axaxnn11+22++...axbnnn=n⎢⎥4163⎣⎢0921−1⎥⎦⎣⎦高斯消去法的主要思路：x=−1将系数矩阵A化为上三角矩阵，然后回代求解。3⎡⎤1−−222⎢017−8⎥xx23=+=871⎢⎣0061−61⎥⎦xx=−+222−x=2=1239/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis10/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAn
7、alysis§5.2高斯消去法§5.2高斯消去法(1)(1)统一记号：aij→aij,bi→bi⎛⎞aa1112""ax1n⎛1⎞⎛b1⎞原方程(1)X=(1):Ab⎜⎟⎜⎟⎜⎟Taa2122"a2nx2b2(1)=[(1)],(1)=(1)(1)⎜⎟⎜⎟=⎜⎟Aabij(bb1,...,n)⎜⎟"#⎜⎟⎜#⎟(1)⎜⎟aa"a⎜x⎟⎜b⎟若a11≠0:⎝⎠nn12nn⎝n⎠⎝n⎠(第二行)−（第一行）×(1)(1)→(新第二行)a21a11记为(第三行)−(第一行)×a(1)a(1)→(新第三行)Ax=b,3111
8、TT""其中Aa==(),(,,xxxxbbbb""),(,,=).ijnn×12n12n(1)(1)(第n行)−（第一行）×aa→(新第n行)n11111/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis12/130郑州大学研究生2012-2013学年课程数值分析NumericalAnalysis2§5
