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1、郑州大学研究生课程（2011-2012学年第一学期）数值分析NumericalAnalysis习题课第五章解线性代数方程组的直接法一、要点回顾第k步：消去第k列()k()kk()设a≠0，计算ma=−a(1in=k+,...,)kkikikkk计算(1kk+)()()kaam=+aijijikkjbbm(1kk+)=+()b()k(i，j=k+1,…,n)iiikk依此类推，直到第n-1步，原方程化为(1)(1)(1)(1)⎡⎤aa?a⎡⎤x⎡b⎤11121n11⎢⎥(2)(2)⎢⎥⎢(2)⎥aa?xb⎢⎥222n⎢⎥2=⎢2⎥
2、⎢⎥B@⎢⎥@⎢@⎥⎢⎥a()n⎢⎥⎣⎦x⎢b()n⎥⎣⎦nnn⎣n⎦2/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis回代过程算法(1)(1)(1)(1)§5.2Gauss消去法⎧ax++??ax++axb=1111ii1nn1⎪⎪??⎪()ii()()i⎪⎪axiii+++??axbinn=i⎨??⎪⎪(1nn−)(1−−)(1n)axaxb+=⎪nn−−11n−1nnn−1n−1⎪()nn()⎪=⎩axbnnnn(n)(n)xn=bnannn()iii()()xbii=−(∑axai
3、jji)iin1,n2,=−−?,1.ji=+13/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysisß乘除运算量：由于计算机中做乘除运算的时间远远超过做加减运算时间，故估计运算量时，往往只估计乘除的次数。第k步：消去第k列n–k次()k()kk()设a≠0，计算ma=−a(1in=k+,...,)kkikikkk计算(1kk+)()()k(n–k)2次aam=+aijijikkjbbm(1kk+)=+()b()k(i=k+1,…,n)iiikkn–k次回代求解：()nn()x=bannnnn
4、(n+1)/2次n()()iii()()xbii=−∑aijxajii(i=k+1,…,n)ji=+13nn2高斯消去法总的乘除运算量为：+n−334/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.2高斯消去法定理5.2.1()i高斯约化的主元素aiii≠=0(1,2,?,)k的充要条件是矩阵A的顺序主子式Dii≠0(=1,2,?,)kD=a≠0,111aa?111iD=≠@@0(1ik=,2,,)?.iaa?ii1i5/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析Numer
5、icalAnalysis定理5.2.2若矩阵A对称正定，则()kakkk≠=01(),2,,?n推论5.2.1如果A的顺序主子式Dk≠0(k=1,2,?,n−1),则(1)⎧a=D,111⎪⎨⎪a(k)=D/D(k=2,3,?,n).⎩kkkk−16/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.4三角分解法(n)记上三角矩阵A为U，(1)−−11−1A==MM?MULU,12n−1其中⎛⎞1⎜⎟−m1⎜⎟21−−11−1=−⎜⎟−LMMM=?mm112n−13132⎜⎟⎜⎟@@@B
6、⎜⎟⎝⎠−−−mmm?1nnn123()n三角为单位下三角矩阵.A=U为上三角阵.（LU）分解7/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.4三角分解法多利特尔(Doolittle)分解定理5.4.1n阶非奇方阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1个顺序主子式Dk≠0(=−1,2,...,n1.)k8/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.4三角分解法例5.4.1用多利特尔分解求解方程组：u1j=a1⎧j2
7、4,xxx++=j=1,?,n⎛⎞211123⎪⎜⎟⎨xxx++=326A=132.li1=ai1u12311,i=2,?,n⎜⎟⎪xxx++=225122⎩⎝123⎠解设对A=LUk=，即2,3,?,n计算211100k-1uuu⎛⎞=⎛⎞−∑⎛1112j13=⎞k,?,n⎜⎟132ukj=a⎜⎟lukj21m100=1lkm⎜umj22u23⎟,⎜⎟⎜⎟⎜⎟122llk-1100u⎝⎠⎝⎠3132⎝33⎠lik=(aik−∑limumk)/ukki=k+1,?,nm=1⎛⎞100211⎛⎞∴LU=⎜⎟0.510⎜⎟02.51
8、.5.⎜⎟⎜⎟⎝⎠0.50.61⎝⎠000.69/29郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§5.4三角分解法解下三角方程组Ly=b，即u1j=a1j,j=1,?,n⎛⎞100⎛yy⎞⎛4⎞⎧=4li1=⎜⎟ai1u1
