打破定势,寻求思维的解放——对“加强命题”解题的反思

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1、2014年第11期数学教学11——45打破定势，寻求思维的解放一对“加强命题解题的反思510530广东省广州市第二中学程汉波思维定势具有一定的积极作用，但作为老命趑对于任恿的n≥2都成立，进而原I司趑得师，则要敢于打破定势，寻求思维的解放．近年证．来众多文章结合具体实例指出“有些问题直接加强命题与原命题的区别在于后面多了证明原问题比证明其加强命题更困难”，有些一个“小尾巴二”，你可别小瞧了它!就是这共同的例子已逐渐成为加强命题的象征，似乎个，在由佗：到n：+1的过程中使归纳不加强命题便很难下手一样．然而任何一种解的局势逆转，反败为胜，功不可没．一些作者题方法都存在优势与不足，我们不希望神

2、化一还会如下分析“小尾巴，，的来源：假设将原命种而否定另一种，“加强命题”确实是解题的一把利器，但过度的强调和灌输反而使一些纯朴题加强为a佗2>2(詈+a3+⋯+)+夕(佗)，夕(佗)是一个非负数列，由归纳的过程分析可自然的解法淹没于无形之中，这对于训练学生1一的发散思维是不利的．本文结合一些文献中论~flg(n)应满足夕(几+1)<9(礼)一痢，于证【c力口强命题”优越性的实例进行反思，指出很是我们可取夕(佗)=1，着实巧妙．但遗憾的是多实例其实无需加强命题也可证明，而且在一一些读者被巧妙证法震撼的同时缺少了思考与定程度上更容易理解与掌握．质疑，一定要加强命题吗?真的很难直接证明例1设

3、。n=1+十一．十，求证：吗?摆脱数学归纳法的束缚，笔者找到了一个直接证法．当佗≥2时，有n2>2(詈+警+⋯+)．证法2：由题意得，。一1ak-(≥2)，证法l：我们可用数学归纳法证其加强命a1=1，则题：．。一；n；一()。=一去，。2>2(警+詈+⋯+等)+．令=2，3，·一，礼，并累加得当n：2时，。；：>2．a2+1=2，命题成立．假设当礼兰时命成，即n=(+2a3+．．·+2an)有。2>2(警+了a3+⋯+警)+则当咒=一(壶+1+⋯+1)+。；+1时，有。2+=n2++两>>(孚+孚+．．．+)一(南2(警+a3+⋯+iak)++(口+一+丽+⋯+二i／}+11)+{=2

4、(警+警+⋯+警+=(+了2a3+．．．+2an一)+1而ak+l>+了2a3+．．2an．+k+1)／+。k一fk+1)2>2(丝2+3+．．．+。，k+’k+1／1+。_+1，’命。题～亦成立～，’从而⋯加强得证．11——46数学教学2014年第11期例2(2012年第八届北万数字哭林克<<，(1)=2，所以(+)(+1)第6题)设n是正整数，证明：(+)(+壶)⋯·(+1)<2．⋯．．(+1)<2(一1)<2，得证．证法4：由n元均值不等式得，证法1：我们司用数学归纳法证其加强命颢：(++壶)⋯·(+)111(1+)(+刍)⋯··(1十)<2一1．1．++1++··‘++当n=1~

5、-1+1≤21一显然成立．，假设当n=k时命题成立，即有(+丢)(+刍)·⋯-(+)<2一1，丢(一))<(+)(++壶)⋯·(+嘉)<’(2一)(+1)=2一3k+1一32k_+1<2一——、、-3k+1．‘<命越亦成立，从向加强命题对十任葸的正整又数n都成立，进而原问题得证．由同例1类似，‘【，J、尾／E1＼，’的／，寻●●一找一／是于有章可『【，H．上+11)循的，读者可参见文【1]．它实现了从n=即单调递增，且由、-、、{1+Jjn(1+)nk到n=+1过渡的瓶颈，令人耳目一新n．但是，非加强命题不可吗?答案是否定的．为ll何==lim=，礼—÷+o。(++刍)一定要将我们的思路

6、局限于“数学归纳法”呢?f一一·ll+)<(+)<<2，得证．打开此思维定势，并可得到以下四个令人赏心让5：田一坝瓦-疋埋得，珂n∈’，X>U，悦目的证明．有1+礼≤(1+)n，贝U证法2：原不等式等价于1n(1+)+lnl-F(十)(1+刍)⋯·(+1)壶)+⋯+ln(1+)=-1mr，有ln(1+)≤，于是ln(1+丢)+(1～·(1～·)⋯·(+1)n1+刍)+⋯+n(+1)<+刍+≤(+)3(+击)3一。⋯．(1+⋯+=(一)<去

7、⋯一(1+)<．"，这是加强命题的让法难以友巩与达全U酮．21(2)类似地，我们可以解决2006年高考<1一1一一／、毒1一—3n1+—l一数学江西卷理科第22题：已知数列fn满足：。01=：==兰，且。0n==：2~3nan-1-1(n≥2，礼∈N)_2014年第11期数学教．学11一7ll(I)求教夕U{-0n，的迥项公式；(II)让明：对一切3一23k一1+3k一2．2+⋯+3．2k一2+2k一1正整数礼，不等式a1．a2．⋯