“解析几何中的定值定点问题”教学实录与反思

《“解析几何中的定值定点问题”教学实录与反思》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2014年第2期中学数学月刊·33·“解析几何中的定值定点问题”教学实录与反思张亮(江苏省南京市第一中学210001)l教学过程一12志3+4k。一12k3师：大家请看表1．一一4(1一)4’表1江苏高考2008—2Ol2年解析几何解答题最后一问考查情况生3：设AM：一是(-t-1)，由2008正判断圆过定点2009钲探究定点问题{，消去Y得(3+4k)xzq-16k2010拄求证直线过定点2011钲求证PA，PB斜率之积为定值-12=0．所以一2一．M一2Ol2年求证是定值师：由此可以看出，定值定点问题是近五年．隅z一．由题一江苏高考的热点之一．今天，我们就来研究

2、这类问一题的一般解法．请大家做一做问题1．，整理一}．问题1如图1，已知椭J师：生1，请说说你的解题思路．2．．2圆c：+一1的左顶点7＼＼一生1：引入点M的坐标作为参数，然后用参数吐t)表示k·忌，再化简得到结果．为A，MN为过椭圆中心的N师：好!为什么设点M的坐标作为参数?动弦，设直线AM，AN的斜图1生1：因为点M确定了，点N也就随之确定率分别为是，志．求证：·了，所以AM，AN斜率都可以表示了．是。为定值．师：生2，请谈谈你的解题思路．生2：引入直线MN的斜率尼作为参数，然后是一一．故忌z一‘用是表示k·k，通过化简证得结论．师：好!为什么引人斜率作为参数?

3、番一(*)．由等2+弩2一得：一3(4生2：从整体来看，因为直线MN确定了，点M，N就确定了，进而AM，AN斜率也就可以表示一j)，代入(*)得志·走。一一号．了，而直线MN过原点，所以引入斜率即可确定直线MN．生2：当MN斜率不存在时，·z一～号．师：生3，请简述你是怎样解决这个问题的．当MN斜率存在时，设MN：y一是，M(x，生3：分别用忌，愚。表示M，N两点，由M，NI一y-／Zx’两点对称关系得到关于是，志。的方程，化简得到)，N(z，．yz)·由{3z+vz一12消去得(3+定值．师：看来，选择参数是解决定值问题的第一4是。)2一l2，所以，。=±2．故是

4、·步．我们来看看三种解法，哪一种引入参数比较合理．·一·惫。一‘一。．代人八一，’第一种解法过程是“忌·走。一厂(。，。)一消2得是1·足2一元一定值”，只有两个变量，且表达直接、形式简单、变量少．!：：!：一．第二种是“尼1·愚2一f(x】，I，2，)一f(k，(2+2√)(2—2√)l，2)志是一-厂()一定·34·中学数学月刊2014年第2期值”，变量的个数由四个到三个再到一个，其中还师：生6，请说说你的解题思路．要解方程组，运算量较大．生6：引入斜率k，k作为参数，用k，k。表示第三种是“zM—f(是1)，N—g(k2)圆的方程，但不知下一步如何解决．师：生

5、6遇到困难，谁能够提供解决方案?／’(是)===一g(kz)一定值”，虽然只有生8：(*)式可转化为Y一6(尼+k2)Y+(两个变量，但是在得到M===f(k．)和化简’(是)一4)+36kk：一0，由问题1的结论，Y一6(k一一一g(是。)时计算量都比较大．本题中设点作为参数，易表达、变量少、运算-)+(一4)一27—0，再关于k整理得量小．这是我们合理选择参数的重要依据．师：同样设点为参数，有没有更简洁的方法?6一[+(～4)。一27]k。一一0．令生4：我们也可以运用椭圆的参数方程设点M(2cos0，√3sin)，这样就一个变量，更简洁了．{6一0，一师：证明

6、定值问题的一般步骤是什么?1÷一0，得到定点(4±3√3，0)．生5：定值问题的一般步骤是：设参数一用参．yz一4一2一。，数表示相关的量一恒等变形、消元一定值．师：好，生8利用了问题1的结论．为什么要师：用自己的语言进行归纳总结，很好!问题转化为关于k的方程呢?1是定值问题，那么曲线过定点问题又如何解决生8：因为k的变化引起所求圆的变化，而此呢?请看问题2．圆始终过定点．问题2如图2，已知椭师：也就是说，这是恒成立问题，一个对任意2．2、的非零实数k恒成立的问题．圆c：+一1的左顶点吐OKP师：生6，你明白了吗?你能试着总结圆过定为A，MN为椭圆过原点的点问题的解

7、题步骤吗?动弦，设直线AM，AN分别生6：设参数一用参数表示动圆方程一转化与右准线交于两个不同点＼Q为含参数方程的恒成立问题．P，Q．求证：以P，Q为直径图2师：很好!生6给出了曲线过定点问题的一端点的圆过轴上定点，并般性解法．在本题中，我们还可以将圆的方程写成求出定点坐标．(一4)。+(一6k1)(Y一6k：)一0．根据题意，可生6：设AM：．y—k(+2)，令一4，则一令Y一0，得(一4)+36k。k一0．由问题1得一6忌，所以P(4，6k)．同理，Q(4，6k：)．故以PQ为4±3．直径的圆的方程为(z一4)+Ey一(3k+3k)]。师：生7的解法怎么样?