直线分平面的区域数.doc

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1、直线分平面的区域数在学习立体几何时，我们研究异面直线、直线与平面所成的角、二面角时都要转化成平面内两条相交直线所成的角，这种转化思想应用非常广泛．又如：用一把普通的，菜刀切一个球形的西瓜，切一刀有2块；切2刀最多能有4块；视线从上往下看抽象成平面图如下图（1），（2）所示．那么切3刀，切10刀呢？（1）（2）我们不妨试着先考虑类似的直线分平面的问题．问题提出平面α内有n条直线，其中任两条不平行，任三条不交于一点，问它们把平面分割成多少个不同的区域？问题分析对于一般情形一下子摸不着思路，我们可以从简单、特殊的情

2、况入手，勇敢探究、大胆猜想一般规律（记n条直线分平面区域数为an）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）　　　（4）　　　　　（5）　　　　（6）当n＝1时，即平面α上有一条直线显然将平面分成两个区域，即a1＝2；如图（3）当n＝2时，即两条相交直线将平面分成4个区域，即a２＝4；如图（4）当n＝3时，即三条直线两两相交有三个交

3、点这三条直线将平面分成7个区域，即a3＝7；如图（5）当n＝4时，在n＝3的基础上再加上一条直线，与原三条直线都相交有3个交点．我们来研究一下加入第四条后，平面上区域变化的情况（这很重要）．事实上，第四条直线被三个交点分成了四段如图（6），且每一段将它所经过的原来区域一分为二，所以增加了四个部分．即a4＝a3＋4＝11；从以上几种特殊情况，我们得到：a1＝1＋1＝2；a2＝1＋1＋2＝4；a3＝1＋1＋2＋3＝7；a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11；一般的猜想an＝1＋1＋2＋3＋…＋n＝（ｎ2＋ｎ＋2）猜想的证

4、明设n－1条直线相交将平面分割为an－１部分，则当添加上第n条直线时，第n条直线与原来的n－1条直线相交有n－1个交点将第n条直线分割成n段，而每一段将所经过的区域一分为二，从而增加了n个区域，应此n条直线把平面分成的区域数为an＝an－１＋n∴an=(an-an－１)+(an－１-an－2)+…+(a2-a１)+a１=n+(n-1)+…+2+2=（n2＋n＋2）问题的解由上述分析推导可知，平面上n条直线把平面分割成的区域数为（n２＋ｎ＋2）结论的推广如果我们对问题进一步作研究，将题中任两条不平行，任三条不交

5、于一点的条件去掉即研究下列问题：平面上n条直线可以将平面分成多少个区域？我们还可以从简单情形入手来归纳出一般结论．当n＝2，3，4时由如下图（7）（8）（9）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（7.1）　（7.2）　（8.1）　（8.2）　　　（8.3）　（8.4）　　（9.1）　　　图（7）　　　　　　　　　　　　图（8）（9.2）　　（9.3）　　（9.4）　　　（9.5）　　（9.6）　　（9.

6、7）　　　　　　　　　　　　　　　图（9）发现直线分平面的区域数与直线的条数有关，与直线在平面内的交点数有关，　除有三条直线或三条直线以上共点外（即除了图8.4；图9.6；图9.7）都满足以下关系：直线分平面的区域数＝1＋直线的条数＋直线与直线的交点数。对于图8（4）；9（6）我们只要将三线共点的这一点算作两个交点，上述得出的结论也成立．；对于图9（7）四条直线交于一点，则将此点算作3个点，上述得出的结论也成立．由此分析，我们又可得出下列一个很有用的结论．结论:设平面上有a条直线，这条直线之间有b个交点（如果

7、一点有k条直线共于此点，则这点算作为k－1个交点），此a条直线将平面分割的区域数为S，则S＝1＋a＋b………………………………………………………（＊）下面我们用数学归纳法证明公式（＊）（1）当a＝1时，命题显然成立．（2）假设当a＝k时，命题成立，即有k条直线，他们之间有b个交点，则这k条直线将平面分割成的区域数S＝1＋k＋b．所以当在添上一条直线，且此直线与原k条直线有c个交点时，则c个交点将添上的一直线分成c＋1段，而每一段将它所经过的区域一分为二，所于增加了c＋1个区域．故当a＝ｋ＋1时，S＝1＋k＋b

8、＋c＋1＝1＋（k＋1）＋（b＋c）．所以a＝k＋1时，命题也成立．由（1）（2）可知对任何条直线公式（＊）都成立．应用举例例：过平面上两点A、B分别有m，n条直线，问这m＋n条直线最多可将平面分成多少部分？解：由公式（＊）可知，要是过A点的m条直线与过B点的n条直线将平面分割成的区域数最多，即使过A点的m条直线与过B点的n条直线交点数最多．而过A点中的任一直线与过B点中的直线最多有n个交点．所以A