高中数学-选修4-4参数方程讲义.doc

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1、——基础梳理——1．椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．(2)中心在(h，k)的椭圆的普通方程为＋＝1，则其参数方程为__________．2．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是__________．3．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为___

2、_______，t∈__________.(2)参数t的几何意义是__________．[答案]1．(1)(φ为参数)　[0,2π)(2)(φ为参数)2．(1)(φ为参数)　[0,2π)，且φ≠，φ≠(2)(φ为参数)3．(1)(t为参数)　(－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数自主演练1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则()A．m＜1B．－1＜m＜1C．m＞1D．0＜m＜1[解析]方程化为x2＋＝1，若要表示焦点在y轴上的椭圆，需要＞1，解得0＜m＜1.故应选D.2．已知90°＜θ＜180°，方程x2＋y2cosθ＝1表示的

3、曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]当90°＜θ＜180°时，－1＜cosθ＜0，方程x2＋y2cosθ＝1表示的曲线是双曲线．故应选C.[答案]C3．直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(θ为参数)的圆心位于第几象限()A．一B．二C．三D．四[解析]直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，而圆心坐标为(a，b)，所以位于第二象限．[答案]B4．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为()A．πB.C．2πD.π[解析]由已知acosθ＝－a，∴cosθ＝－1，又θ∈[0,2π]，∴θ＝π.故选A.[答

4、案]A5．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标为__________．[解析]原方程消去参数θ，得普通方程为＋＝1.它是焦点在x轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，c＝4，所以左焦点坐标是(－4,0)．6．圆锥曲线(θ是参数)的渐近线方程是________________，实轴长是__________．[解析]原方程可化为因为sec2θ－tan2θ＝1，所以－＝1.它是焦点在x轴上的双曲线，∴a2＝16.∴双曲线的渐近线为y＝±x，且实轴长为8.[答案]y＝±x8——题型探究——题型一椭圆的参数方程及应用【例1】已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点

5、，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．【分析】△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．【解析】由题意知A(6,0)，B(0,3)，由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得，即，消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．变式训练在椭圆＋＝1中有一内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？[解析]椭圆的参数方程为(t为参数)，设第

6、一象限内椭圆上任一点M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S＝4xy＝4×5cost×4sint＝40sin2t.当t＝时，面积S取得最大值40，此时，x＝5cos＝，y＝4sin＝2，因此，矩形在第一象限的顶点为，此时内接矩形的面积最大，且最大面积为40.题型二双曲线的参数方程及应用【例2】求点M0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值)．【分析】化双曲线方程为参数方程，对建立三角函数求最值．【解析】把双曲线方程化为参数方程设双曲线上动点M(secθ，tanθ)，则2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)

7、＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3，当tanθ－1＝0即θ＝时，2取最小值3，此时有＝，即M0点到双曲线的最小距离为.【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示曲线的坐标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算过程．变式训练设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2为两个焦点，证明：·＝2.[解析]如图所示，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为得(·)2＝[(secθ＋)2＋tan2θ]·[(secθ－