高中数学选修2-2推理与证明演绎推理.docx

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1、2.1.2　演绎推理[学习目标]　1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.知识点一　演绎推理及其一般模式——“三段论”1.演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P思考　(1)演绎推理的结论一定正确吗？(2)如何分清大前提、小前提和结论？答案　(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以

2、在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.(2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.15知识点二　演绎推理与合情推理的区别与联系合理推理演绎推理区别定义根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的

3、推理过程根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程思维方法归纳、类比三段论推理形式由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确作用具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高逻辑证明的能力联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明题型一　用三段论

4、的形式表示演绎推理例1　把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数.解　(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提15水会沸腾.结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除.结论(3)三角函数都

5、是周期函数，大前提y＝tanα是三角函数，小前提y＝tanα是周期函数.结论反思与感悟　三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的.跟踪训练1　将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)0.332是有理数；(2)y＝cosx(x∈R)是周期函数；(3)Rt△ABC的内角和为180°.解　(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论

6、).(2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y＝cosx(x∈R)是三角函数(小前提)，函数y＝cosx(x∈R)是周期函数(结论).(3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt△ABC是三角形(小前提)，Rt△ABC的内角和为180°(结论).题型二　演绎推理在证明数学问题中的应用例2　在锐角三角形中，求证sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明　∵在锐角三角形中，A＋B＞，∴A＞－B，∴0＜－B＜A＜.15又∵在内，正弦函数是单调递增函数，∴sinA＞sin＝cosB，即sinA＞cosB，①同理sinB＞c

7、osC，②sinC＞cosA.③以上①②③两端分别相加，有：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.反思与感悟　(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.跟踪训练2　(1)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证＋＋≥8.(2)求证：函数f(x)＝是定义域上的增函数.证明　(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝

8、1，∴1＝a＋b≥2，即≤，∴≥4，∴＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋≥4＋4＝8.15当且仅当a＝b＝时等号成立，∴＋＋≥8.(2)函数定义域为R.任取x1，x2∈R且x1＜x2.则f(x1)－f(x2).∵