四元数矩阵方程AX=B的反问题-论文.pdf

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1、第3l卷第1期湖北民族学院学报(自然科学版)V01．31No．12013年3月JoumalofHubeiUIliversityforN鲥onalities(NaturalscienceEdition)Mar．2013四元数矩阵方程AX=B的反问题黄莉1，刘丁酉2+(1．武汉商业服务学院信息工程系，湖北武汉430056；2．武汉大学数学与统计学院，湖北武汉430072)摘要：研究了四元数矩阵Ax=曰的反问题，得到了Ax=曰的反问题具有亚正定阵解的充要条件，以及此解存在的一般形式．关键词：反问题；四元数矩阵方程；四元数亚正定阵中图分类号：0151．2l文献标志码：

2、A文章编号：1008—8423(2013)01—0024—02IIlVerseProblemofQuaterIlionMatrixEquationAX=曰HUONGLi1，LIUDing—you2+(1．DepartmentofInfoⅡnationEn矛neering，WuhanCommercialServiceCollege，Wuhan430056，China；2．SchoolofMathem“csaIldStatistics，WuhanUniversity，Wuhan430072，China)Abstract：Inthispaper，wediscusst

3、heinverseproblemofQuatemionmatrixequation』4Ⅸ=曰，andfindthenecessaryandsumcientconditionsofAX=日havingmetapositiVede6nitequatemionmatrixsolution，atthesametime，thegenemlfomofthes01utionisgiVen．definitequatemionmatrixKeywOrds：inversepmblem；quatemionmatrixequation；metapositiVe自文献[卜2]于1982

4、年提出线性方程组Ax=B的反问题以来，使得人们对反问题的研究日益关注，而近年来，随着四元数和四元数矩阵在数学和其他学科的应用日益广泛，四元数矩阵方程及其反问题的研究也就成为一个重要的课题，文献[3—4]都对四元数矩阵方程作了详尽讨论，而对四元数矩阵方程反问题的研究也做出了些很好的结果[5]．本文主要讨论四元数矩阵方程Ax=B的反问题具有亚正定阵解的充要条件，以及此解存在的一般形式．设R为实数域，c为复数域，记Q={gIg∈R+威+彤+舭，驴=母=后，i2=歹2=七2=一l}为实四元数体，简称四元数体．Q“8表示Q上所有凡阶矩阵(即n阶四元数矩阵)，设A=(oi

5、i)∈Q““，则A“=(瓦)1。为其共轭转置，本文中的符号都同文献[6]一样．定义1【41设A∈Q““，若对于任何0≠％∈Q“1，都有Re(菇爿舭)>o，则记A∈P，n'称A为四元数体上的实部正定阵或亚正定阵．定义2[61设A∈p““，若AAⅣ=A日A，则称A为四元数体上的正规矩阵．注：特别地，①A”=A时，正规矩阵A为Q上的自共轭阵；②AA”=A％=，。时，正规矩阵A为Q上的酉矩阵．引理1[21(四元数矩阵上的满秩分解)对于任意A∈Q，，则存在可逆矩阵P∈Q：“，Q∈Q：“，使得：，00、朋Q=I，nI．弛2⋯设A铊∈Q““，其中A。。∈Q～”1，贝0：A∈

6、Pk刚-·∈P，n．，Az：一(Az-+A乞)(A--+A嚣)‘14-，(A¨¨嚣)。1(A-：+A美)∈％。。甘A兹∈■n1，At-一(A-z+A并)(4zz+A乞)。1似Azz+A墨)一(Az·+A乞)∈～所谓四元数矩阵方程Ax=曰的反问题，就是指对于四元数矩阵方程Ax=B，给定了x和曰，求满足一定条件的四元数矩阵A，使得Ax=曰，其中A∈Q“”，x，B∈Q““．收稿日期：2013一O卜11．基金项目：国家自然科学基金项目(60875007)．作者简介：黄莉(1984一)，女，硕士，主要从事矩阵分析及其应用的研究；4通信作者：刘丁酉(1957一)，男，博士

7、，教授，主要从事矩阵分析及其应用的研究．第1期黄莉等：四元数矩阵方程舣=曰的反问题1亚正定矩阵反问题下面考虑这样的问题：对于四元数矩阵方程Ax=B，给定x，曰∈Q““，求所有的A∈P，n，使得Ax=B，我们知道若x∈Q≯，B∈Q““，则存在唯一解A=蹦～，则此问题的解即为蹦。1或∥B∈P，。，因为麟1=(x。1)日xⅣ麟～，因此假设x∈Q罗，B∈Q““(n>m≥1)，则由引理1知，存在可逆矩阵P∈Q：“，Q∈Q：“，使得：啡㈥，令：cP‘1，日BQ=(：：IM)，cP。1，ⅣAP～=(三：：妣艄一c∥心∥蹦州∥邝Q啦矧㈡镀叫洲一o，综上所述，只需考虑x∈Q：”

8、，B∈Q““(n>m≥1)的情形，即求