《数学建模(第四版)》 4.7 钢管切割问题.doc

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1、摘要该问题在于确定钢管切割模式的安排上，显然是一个优化问题。是一个在原料和成品长度等约束下求最小费用的优化模型。我们在分析题目的各种限制因素后，找到初步的目标函数，找到约束条件，建立IP（整数优化）模型。在求解模型过程中，由于问题的规模小，我们通过分析约束条件采取枚举法分析可行域，运用MATLAB找到钢管切割模式的可行解。然后在目标函数下，进而求出最优解集合。考虑到实际生活常识，通过对满足约束条件下的最优解来进行分析，找到符合实际的最优解。依此来确定最终的切割模式方案。在求解模型的过程中，针对不同的假设背景下，

2、可以简化模型的求解过程。我们运用LINDO/LINGO或MATLAB编写程序来进行求解，同时用LINDO/LINGO软件进行初步的可行性和灵敏度分析。为了使主要结果的直观性和形象性，对获得的数据运用MATLAB处理成图表。在文章的最后，我们对模型的改进和模型的应用范围进行了适当的分析，提出关于与模型的相关问题的见解。关键词：切割模式优化MATLAB/LINGO灵敏度分析钢管切割问题一、问题重述原料钢管长度1850mm，现要从这一批原料钢管中切割出15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455

3、mm三种特定长度的成品钢管。合理的切割模式确定后，求使切割总费用最小的切割方案。问题中的原料和成品长度都有限定，切割费用也与切割模式有关。在阅读分析题目后，其中限制条件主要有：1原料钢管长度限制，所以每根钢管的切割模式总长度不能超过1850mm。2一根钢管最多生产5根成品钢管，切割后的成品根数有限制。3切割模式的种类不能超过4种。4一根钢管在每种切割模式下的余料不能超过100mm。5费用的计算方式是和切割模式的使用频率有关。二、基本假设(1)切割过程中原料钢管不发生长度损失。(2)在切割过程中，只发生因切割而产

4、生的费用。(3)切割费用只与切割模式使用频率有关，而与其他因素无关。（4）在使总费用达到最小的所有模式中，认为余料最小是要比其他同等模式优良的切割模式。三、符号说明r、r、r、r:分别表示一根钢管上切割长度为290mm、315mm、350mm、455mm钢1i2i3i4i管的数目x：按第i种模式切割的原料钢管根数（i111）i四、问题的分析首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将1850mm的钢管切割成6根长290mm的钢管，余料为11

5、0mm；或者将长1850mm的钢管切割成长290mm、455mm和315mm的钢管各1根和350mm的钢管2根，余料为84mm。显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式通常还假设余料不应超过100mm，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。则切割模式的约1750290a315b350c455d1850束条件为：（4-1）abcd5于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节

6、省。五、模型的建立与求解经过简单的计算可知，合理的切割模式一共有7种，如表1所示。表1钢管下料的合理切割模式-1-钢管切割问题模式290mm315mm350mm455mm余料/mm1005010020004303103155420121050131306112190702216580311100903111001021025511300270而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，总余量：MinZ100x30x55x10x30x90x65x100x100x55x70x11

7、234567891011（5-1）二是切割原料钢管的总根数最少。总根数：MinZxxxxxxxxxxx（5-2）1234567891011在选择切割模式的时候受到以下条件的约束：（1）所使用的切割模式的种类不能超过4种。（2）使用频率最高的一种切割模式按照一个原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推。r11x1r12x2r13x3r14x415r21x1r22x2r23x3r24x428约束条件，满足：（

8、5-3）rxrxrxrx21311322333344rxrxrxrx30411422433444模式合理约束（每根余料不超过100mm）：1750290r11315r21350r31455r4118501750290r12315r22350r32455r421850(5-4)1750290r315r350r455r18501