抛物型微分方程的多尺度有限元高效计算-论文.pdf

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1、第18卷第2期扬州大学学报(自然科学版)Vo1．18NO．22015年5月Journa1ofYangzhouUniversity(NaturalScienceEdition)May2015抛物型微分方程的多尺度有限元高效计算江山，易年余，孙美玲。(1．扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002；2．湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭4111053．南通职业大学基础课部，江苏南通226007)摘要：提出了抛物型微分方程的高效多尺度数值计算方法．与传统有限元基函数相比，多尺度有限元基函数能更好地反映问题自身的强振荡微观信息，结合多尺度有限

2、元格式，可使计算结果在宏观尺度获得很好的数值逼近．对时间采用欧拉向后差分离散化，得到稳定且收敛的数值结果．新方法在取得高仿真逼近的同时，节约了大量计算资源和时间，因而更具应用价值．关键词：抛物型模型；多尺度有限元；时间离散化；欧拉向后差分；算法效率中图分类号：O241．82文献标志码：A文章编号：1007—824X(2015)02—0026—05奇异摄动微分方程广泛应用于流体力学、热电传导、分子动力学、声光学等领域l1]，其特点是若存在小摄动参数e，方程的解就会因在子区域剧烈变化而产生边界层现象[3]，使其在许多跨尺度问题中难以有效求解

3、，故奇异摄动微分方程高效数值解法引起学者们的关注．Hou等开创性地提出多尺度有限元法(multiscalefiniteelementmethod，MsFEM)，随后的理论研究和数值应用不断取得进展_8_．与时间、空间有关的多尺度抛物型微分方程是当今研究的热点和难点，人们试图在计算精度和计算代价之间寻求平衡，致力于探寻既能保证计算精度又可节约计算资源的新数值方法来处理复杂的时空多尺度问题．Efendiev等_g提出了广义多尺度有限元法，采用在脱机空间计算基函数、在联机空间求解特征值的方法，实现了约化计算．Sun等_】o]针对二维反应扩散方

4、程，利用嵌入的多尺度格式并结合等级网格，仅在边界层粗单元采用多尺度基，在内部光滑粗单元采用传统有限元基；从而节约了大量的空间与时间．在本文中，笔者提出时间、空间的多尺度抛物型初边值问题：Jl一V·(()V)一f，E(o，1)×(o，1)UtE(0，T]；1(⋯；)一g，anUt∈(0，T]；⋯l(；0)一“。，u￡一o，式中为真解，t为时间，忌()为强振荡系数，依赖于尺度参数￡(e《1)，为二维空间变量，厂为右端函数，g为边值函数，“。为初值函数，n为空间域及边界a．在一定条件下，该问题是适定的，但缺少普遍适用性的解析式，故其高效的数值

5、解是本文研究的重点．1传统有限元法与多尺度有限元法1．1变分形式和有限元格式问题(1)的变分形式是寻求∈H()满足收稿日期：2014—1O一28．*联系人，E—mail：jiangshan@yzu．edu．cn．基金项目：国家自然科学青年基金资助项目(11301462)；江苏省高校自然科学基金资助项目(13KJBll0030)；江苏省高校研究生科研创新资助项目(KYLX-1332)；扬州大学博士后研究资助项目；扬州大学新世纪人才工程资助项目．引文格式：江山，易年余，孙美玲．抛物型微分方程的多尺度有限元高效计算[J]．扬州大学学报：自然科

6、学版，2015，18(2)：26—3O．第2期江山等：抛物型微分方程的多尺度有限元高效计算27(，)+n(一(-厂，)，V∈H(n)，tE(o，T]，(2)其中n(，)一J‘。志()(塞+等)，(厂，)一'『．。厂，H是一阶可导、平方可积s。b。lev泛函空间．NN(1)对应的矩阵形式为M+A一F，其中M—jd，A一j。是()V织。V9,dx，F一J’厂，式中为有限元基函数．将二维区域Q分为若干子区域n，且Un一n．令K是矩形网格剖分，在每一个单元K∈K定义4个节点基函数及其对应的二维坐标Ex，]×[3，，Y川]．由有限元的双线性标准基

7、与等参变换可知：1(1-)(1一r／)，2一(1一r／)，一，(1一亭)为4个基函数；S=(z—z)／h，叼一(y-yj)／h为等参变换；h一z㈩一z，h一+1一y为，Y方向单元步长，且微分dx一^，dy=hd，有一墓+一一c一，一墓+===一，一一4-一．一-4-一一aaaza，7a“h’aaaz。a叩az¨h’r／3y=-(1-，1一3~3y+3，一+考一一hy，一+一声．一+：f1_3yaa’a叩ah’aa3y’a'73yh则单元质量矩阵元素Mfxi+1．~Yyl+19191dxdy—fil1(1一)(1一)h^d'7一告，类似可

8、得M1z至M4．单元刚度矩阵元素Al1一Xi+l)(十)捌一』lfl(k+⋯+最，(c一7，。hy+c一)d一kl(+)+鲁(+最)+(凡hy_~_hx)+鲁·(+)，类似可得A-z至A．单元载荷向量元素F