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1、第三章非线性规划§1非线性规划1.1非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。例1（投资决策问题）某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i(i=1,L,n)个项目需花资金a元，i并预计可
2、收益b元。试选择最佳投资方案。i解设投资决策变量为⎧1,决定投资第i个项目xi=⎨，i=1,L,n，⎩0，决定不投资第i个项目nn则投资总额为∑aixi，投资总收益为∑bixi。因为该公司至少要对一个项目投资，并i=1i=1且总的投资金额不能超过总资金A，故有限制条件n0<∑aixi≤Ai=1另外，由于x(i=1,L,n)只取值0或1，所以还有ix(1−x)=0,i=1,L,n.ii最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学
3、模型为：n∑bixii=1maxQ=n∑aixii=1ns.t.0<∑aixi≤Ai=1x(1−x)=0,i=1,L,n.ii上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式minf(x)s.t.h(x)≤0,j=1,L,q(NP)jg(x)=0,i=1,L,pi-32-T其中x=[xLx]称为模型（NP）的决策变量，f称为目标函数，g(i=1,L,p)1ni和h(j=1,L,q)称为约束函数。另外，g(x)=0(i=1,L,p)称为等式约束
4、，jih(x)≤0(j=1,L,q)称为不等式的约束。j对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：（i）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。（ii）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。（iii）给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。（iv）寻求限制条件：由于所
5、追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。1.2线性规划与非线性规划的区别如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。1.3非线性规划的Matlab解法Matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式minf(x)⎧Ax≤B⎪⎪Aeq⋅x=Beq⎨,C(x)≤0⎪⎪⎩Ceq(x)=0其中f(x)是标量函数，A,B,Aeq,Beq是
6、相应维数的矩阵和向量，C(x),Ceq(x)是非线性向量函数。Matlab中的命令是X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)它的返回值是向量x，其中FUN是用M文件定义的函数f(x)；X0是x的初始值；A,B,Aeq,Beq定义了线性约束A*X≤B,Aeq*X=Beq，如果没有线性约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB和UB是变量x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x无下界，则LB的各分量都为-inf，如果x无上界，则UB
7、的各分量都为inf；NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x)；OPTIONS定义了优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置。例2求下列非线性规划222minf(x)=x+x+x+812322s.t.x−x+x≥012323x+x+x≤201232−x−x+2=012-33-2x+2x=323x,x,x≥0123解（i）编写M文件fun1.m定义目标函数functionf=fun1(x);f=sum(x.^2)+8;（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件function[g,h]=fun2(x);g=
8、[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];%非线性不等式约束h=[-x(1)-x(2)^2+2x(2)+2*x(3)^2-3];%非线性等式约束（i
