广东金融学院2009数学竞赛参考答案 2.pdf

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1、出卷老师：骆世广广东金融学院2009年数学竞赛试题参考答案题1234567891011121314总号分得学分号一、微积分部分：（共5小题，每小题10分）：3f(x)2xf(x)1.设f(x)是多项式，且lim2；lim3，求f(x).2xxx0x3f(x)2x32解由lim2知f(x)2x2xaxb2xxf(x)姓由lim3知limf(x)f(0)0．b0，a3x0xx0名：所以f(x)2x32x23x2．将长为l的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能

2、使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。设剪成的三段分别为x,y,z，则围成的面积之和为222xy3zS，且xyzl41636这是条件极值问题。作Lagrange函数为222xy3zL(xyzl)班41636级：xL0x2yLy0密由83z封Lz018xyzl线得条件驻点Mx,y,z，其中000l4l33lx,y,z000433433433由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。1出卷老师：骆世广2l所求

3、的最小面积为S(M)4(433)23.设F(x)是f(x)的原函数,，且F(1)，当x0时，有4arctanxf(x)F(x)，试求f(x)。x(1x)arctanx解答：由f(x)F(x)，知F(x)F(x)x(1x)即F(x)dF(x)2arctanxdarctanx122解出F(x)arctanxC22代入初始条件即得f(x)（x0）2x(1x)4.设f(x)asinxasin2x...asinnx,其中a,a,...,a均为实数，n为12n12n正整数。已知对一切x有f(

4、x)sinx,试证a2a...na1.12n证由于f(x)asinxasin2x...asinnx,因此12nf(x)acosx2acos2x...nacosnx,f(0)a2a...na12n12nf(x)f(0)f(x)sinxsinxf(0)limlimlimlim1x0x0x0xx0xx0xa2a...na1.12nn12x(1)5.将函数f(x)arctan展开成x的幂级数，并求级数的和.12xn02n12nn2n11解:f(

5、x)22(1)4x,x(,).又f(0)=,所14xn0224以xxnn2nf(x)f(0)f(t)dt2[(1)4t]dt040n0nn(1)42n111=2x,x(,).4n02n1222出卷老师：骆世广n(1)1因为级数收敛，函数f(x)在x处连续，所以n02n12nn(1)42n111f(x)2x,x(,].4n02n122nn11(1)41(1)令x，得f()2[2n1],224n02n12

6、4n02n1n1(1)1再由f()0，得f().2n02n1424二、线性代数部分：（共3小题，每小题10分）1111116.求n阶行列式Dn=，展开后的正项总数。11111110001200c1c2n–1解：Dn1220=2，设Dn展开式中正、负项总数分别为c1c3c1cn1222x1,x2，则n–11n1x1+x2=n!，x1–x2=2，于是正项总数为x1=(2n!)。2327.已知３阶方阵A的特征值为１，－１，２，求BA5A的特征值

7、及相似对角阵．2233解：设A(0)，则A，A，3232B(A5A)(5)，令-1,1,2得B的特征值为：-6.-4.-12。6所以B相似于4．128.λ为何值时，线性方程组λx1+x2+x3=λ−3x1+λx2+x3=−23出卷老师：骆世广x1+x2+λx3=−2有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解.113112解：11211211211311211

8、201100110………401123300(1)(2)33分当1且2时，r(A)=r(Ab)=3,方程组有唯一解；2时,r(A)r(Ab)方程无解；